Решите неравенство 1+5/(log₄ x-3)+6/(log₄²x-log₄(64x⁶)+12)≥0 — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя развёрнутое

Решите неравенство $1 + \frac{5}{l o g _{4} x - 3} + \frac{6}{l o g _{4}^{2} x - l o g _{4} ( 64 x ^{6} ) + 12} \geq 0$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Запишем ограничения. Аргументы логарифмов положительны: $x > 0$ и $64 x^{6} > 0$ , второе следует из первого. Знаменатели не равны нулю — это условие удобно выписать после упрощения.

По формуле логарифма произведения и свойству $lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$ (при $x > 0$ чётная степень выносится без модуля):

$lo g_{4} (64 x^{6}) = lo g_{4} 64 + lo g_{4} x^{6} = 3 + 6 lo g_{4} x .$

Тогда второй знаменатель по формуле квадрата разности равен

$lo g_{4}^{2} x - 3 - 6 lo g_{4} x + 12 = lo g_{4}^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot lo g_{4} x + 3^{2} = (lo g_{4} x - 3)^{2} .$

Оба знаменателя обращаются в ноль при одном и том же условии $lo g_{4} x = 3$ , то есть при $x = 4^{3} = 64$ . Итак, ОДЗ: $x > 0$ , $x \neq = 64$ .

Неравенство принимает вид

$1 + \frac{5}{lo g _{4} x - 3} + \frac{6}{( lo g _{4} x - 3 ) ^{2}} ⩾ 0.$

Сделаем замену $t = lo g_{4} x - 3$ , где $t \neq = 0$ . Приведём к общему знаменателю $t^{2}$ :

$1 + \frac{5}{t} + \frac{6}{t ^{2}} ⩾ 0 \Leftrightarrow \frac{t ^{2} + 5 t + 6}{t ^{2}} ⩾ 0.$

Корни трёхчлена $t^{2} + 5 t + 6$ по теореме Виета: $t_{1} = - 3$ , $t_{2} = - 2$ (их сумма равна $- 5$ , произведение равно $6$ ). Поэтому

$\frac{( t + 3 ) ( t + 2 )}{t ^{2}} ⩾ 0.$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t = - 3$ и $t = - 2$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $t = 0$ выкалываем. Знаменатель стоит в квадрате, поэтому при переходе через $t = 0$ знак не меняется.

Метод интервалов

$t \in (- \infty; - 3] \cup [- 2; 0) \cup (0; + \infty) .$

Сделаем обратную замену:

$lo g_{4} x - 3 ⩽ - 3, - 2 ⩽ lo g_{4} x - 3 < 0, lo g_{4} x - 3 > 0 \Leftrightarrow lo g_{4} x ⩽ 0, 1 ⩽ lo g_{4} x < 3, lo g_{4} x > 3.$

Запишем числа как логарифмы по основанию $4$ : $0 = lo g_{4} 1$ , $1 = lo g_{4} 4$ , $3 = lo g_{4} 64$ . Основание $4 > 1$ , функция $y = lo g_{4} x$ возрастает, поэтому знаки сохраняются; учитываем и условие $x > 0$ :

$lo g_{4} x ⩽ lo g_{4} 1, lo g_{4} 4 ⩽ lo g_{4} x < lo g_{4} 64, lo g_{4} x > lo g_{4} 64 \Leftrightarrow 0 < x ⩽ 1, 4 ⩽ x < 64, x > 64.$

Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ на числовой прямой

Ответ: $(0; 1] \cup [4; 64) \cup (64; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16