ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение в задаче одно: знаменатель не равен нулю. Найдём, когда это происходит, а заодно выясним знак знаменателя.

Знаменатель — квадратный трёхчлен относительно $2^{x^2}$, ведь $4^{x^2}={\left(2^{x^2}\right)}^2$. По формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ при $a=2^{x^2}$, $b=4$:

$$4^{x^2}-8\cdot 2^{x^2}+16={\left(2^{x^2}\right)}^2-2\cdot 4\cdot 2^{x^2}+4^2={\left(2^{x^2}-4\right)}^2.$$

Квадрат неотрицателен и равен нулю только при $2^{x^2}=4=2^2$, то есть при $x^2=2$, $x=\pm \sqrt{2}$. Значит, ОДЗ: $x\ne \pm \sqrt{2}$, и на ОДЗ знаменатель строго положителен.

Разложим числитель группировкой, а затем по формуле разности квадратов:

$$x^3+x^2-x-1=x^2(x+1)-(x+1)=(x+1)\left(x^2-1\right)=(x+1{)}^2(x-1).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(x+1{)}^2(x-1)}{{\left(2^{x^2}-4\right)}^2}⩾0.$$

На ОДЗ знаменатель положителен, поэтому умножим на него обе части — знак неравенства сохранится. Получаем равносильную систему

$$\{\begin{array}{l}(x+1{)}^2(x-1)⩾0,\\ x\ne \pm \sqrt{2}.\end{array}$$

Решим методом интервалов. Нули $x=-1$ и $x=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое); множитель $(x+1{)}^2$ стоит в квадрате, поэтому при переходе через $x=-1$ знак не меняется. Точки $x=\pm \sqrt{2}$ выкалываем, так как они не входят в ОДЗ.

Отсюда $x=-1$ или $x⩾1$, $x\ne \sqrt{2}$. Важно не потерять изолированную точку $x=-1$: в ней числитель равен нулю, а неравенство нестрогое. Точка $x=-\sqrt{2}$ лежит там, где выражение отрицательно, и в ответ не попадает.

Ответ: $\{-1\}\cup [1;\sqrt{2})\cup (\sqrt{2};+\infty )$.