ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим квадратный трёхчлен на множители. Его корни по теореме Виета $x=4$ и $x=-2$ (сумма $2$, произведение $-8$), поэтому $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$, и аргумент левого логарифма равен

$$(x-4)\left(x^2-2x-8\right)=(x-4{)}^2(x+2).$$

Найдём ОДЗ: аргументы обоих логарифмов должны быть положительны.

$$\{\begin{array}{l}(x-4{)}^2(x+2)>0,\\ (x-4{)}^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+2>0,\\ x\ne 4\end{array}\iff x\in (-2;4)\cup (4;+\infty ).$$

Здесь мы учли, что при $x\ne 4$ множитель $(x-4{)}^2$ положителен и знак произведения определяется множителем $x+2$.

Приведём правую часть к логарифму по основанию $25$. Так как $25=5^2$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$

$$0,5{\log }_5(x-4{)}^2={\log }_{25}(x-4{)}^2.$$

Единицу запишем как $1={\log }_{25}25$ и сложим логарифмы по формуле логарифма произведения:

$$0,5{\log }_5(x-4{)}^2+1={\log }_{25}(x-4{)}^2+{\log }_{25}25={\log }_{25}\left(25(x-4{)}^2\right).$$

На ОДЗ неравенство принимает вид

$${\log }_{25}\left((x-4{)}^2(x+2)\right)⩾{\log }_{25}\left(25(x-4{)}^2\right).$$

Основание $25>1$, функция $y={\log }_{25}t$ возрастает, поэтому на ОДЗ можно перейти к аргументам с сохранением знака:

$$(x-4{)}^2(x+2)⩾25(x-4{)}^2\iff (x-4{)}^2(x+2-25)⩾0\iff (x-4{)}^2(x-23)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули: $x=4$ и $x=23$, неравенство нестрогое — обе точки закрашенные. Множитель $(x-4{)}^2$ стоит в квадрате, поэтому при переходе через $x=4$ знак не меняется.

Получаем $x\in \{4\}\cup [23;+\infty )$. Значение $x=4$ в ОДЗ не входит (аргумент $(x-4{)}^2$ в нём обращается в ноль), а луч $[23;+\infty )$ целиком лежит в ОДЗ.

Ответ: $[23;+\infty )$.