ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Основание каждого логарифма должно быть положительным и не равным единице, аргумент — положительным, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ x\ne 1,\\ 2x\ne 1,\\ 2x^{-2}\ne 1,\\ {\log }_{2x}x\ne 0,\\ {\log }_{2x^{-2}}x\ne 0.\end{array}$$

При $x>0$ аргументы $2x^{-1}$, $2x^2$ и основания $2x$, $2x^{-2}$ положительны автоматически. Условие $2x\ne 1$ даёт $x\ne \frac{1}{2}$, условие $2x^{-2}\ne 1$ даёт $x^2\ne 2$, то есть $x\ne \sqrt{2}$ (помним, что $x>0$). Логарифмы ${\log }_{2x}x$ и ${\log }_{2x^{-2}}x$ равны нулю только при $x=1$, а это значение уже исключено. Итак, ОДЗ:

$$x\in \left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};1\right)\cup \left(1;\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};+\infty \right).$$

Приведём все логарифмы к основанию $x$. Логарифмы в знаменателе перевернём по формуле ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ (она верна, когда оба логарифма определены, а на ОДЗ это так):

$$\frac{1}{{\log }_{2x}x}={\log }_x(2x),\frac{1}{{\log }_{2x^{-2}}x}={\log }_x\left(2x^{-2}\right).$$

Поэтому левая часть неравенства равна произведению четырёх логарифмов по основанию $x$:

$${\log }_x\left(2x^{-1}\right)\cdot {\log }_x\left(2x^2\right)\cdot {\log }_x(2x)\cdot {\log }_x\left(2x^{-2}\right)<40.$$

Каждый логарифм распишем по формуле логарифма произведения ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ и свойству ${\log }_a{x}^k=k{\log }_{a}x$ (на ОДЗ $x>0$, поэтому модули не появляются):

$${\log }_x\left(2x^{-1}\right)={\log }_{x}2-1,{\log }_x\left(2x^2\right)={\log }_{x}2+2,$$

$${\log }_x(2x)={\log }_{x}2+1,{\log }_x\left(2x^{-2}\right)={\log }_{x}2-2.$$

Сделаем замену $t={\log }_{x}2$:

$$(t-1)(t+2)(t+1)(t-2)<40.$$

Сгруппируем множители попарно и применим формулу разности квадратов:

$$(t-1)(t+1)\cdot (t-2)(t+2)=\left(t^2-1\right)\left(t^2-4\right)=t^4-5t^2+4.$$

Получаем

$$t^4-5t^2+4<40\iff t^4-5t^2-36<0.$$

Это биквадратное неравенство. Обозначим $y=t^2$, тогда $y^2-5y-36<0$. Корни трёхчлена по теореме Виета: $y_1=9$, $y_2=-4$ (их сумма равна $5$, произведение равно $-36$). Значит, $y^2-5y-36=(y-9)(y+4)$, и после обратной замены

$$\left(t^2-9\right)\left(t^2+4\right)<0\iff (t-3)(t+3)\left(t^2+4\right)<0.$$

Множитель $t^2+4$ положителен при любом $t$, на него можно разделить без смены знака: $(t-3)(t+3)<0$. Решим это неравенство методом интервалов. Нули $t=-3$ и $t=3$, неравенство строгое — точки выколотые.

Получаем $-3<t<3$, то есть

$$-3<{\log }_{x}2<3.$$

Теперь нужно сравнивать логарифмы с переменным основанием $x$. Направление знака при снятии логарифма зависит от того, больше основание единицы или меньше, поэтому рассмотрим два случая.

1. Пусть $x>1$. Тогда ${\log }_{x}2>{\log }_{x}1=0>-3$, и левое неравенство выполняется автоматически. Правое запишем как ${\log }_{x}2<{\log }_x{x}^3$. При основании $x>1$ логарифм возрастает, поэтому знак сохраняется:

$$2<x^3\iff x>\sqrt[3]{2}.$$

Так как $\sqrt[3]{2}>1$, в этом случае $x\in \left(\sqrt[3]{2};+\infty \right)$.

2. Пусть $0<x<1$. Тогда ${\log }_{x}2<0<3$, и автоматически выполняется правое неравенство. Левое запишем как ${\log }_x{x}^{-3}<{\log }_{x}2$. При основании $0<x<1$ логарифм убывает, поэтому знак меняется на противоположный:

$$x^{-3}>2\iff x^3<\frac{1}{2}\iff x<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.$$

(При переходе от $x^{-3}>2$ к $x^3<\frac{1}{2}$ мы взяли обратные величины от положительных чисел — знак при этом меняется.) Так как $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}<1$, в этом случае $x\in \left(0;\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)$.

Объединим случаи и учтём ОДЗ: из найденных промежутков нужно выколоть $x=\frac{1}{2}$ и $x=\sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt[3]{2}<2$, имеем $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Поскольку ${\left(\sqrt{2}\right)}^6=8>4={\left(\sqrt[3]{2}\right)}^6$, имеем $\sqrt{2}>\sqrt[3]{2}$. Значит, обе точки лежат внутри найденных промежутков, и их нужно выколоть.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\cup \left(\sqrt[3]{2};\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};+\infty \right)$.