ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы по отдельности, а затем пересечём их решения.

1) Первое неравенство. Распишем степени, пользуясь свойством $a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$:

$$16^{x-\frac{5}{4}}=\frac{16^x}{16^{\frac{5}{4}}},16^{\frac{5}{4}}={\left(2^4\right)}^{\frac{5}{4}}=2^5=32;4^{x-\frac{3}{2}}=\frac{4^x}{4^{\frac{3}{2}}},4^{\frac{3}{2}}={\left(2^2\right)}^{\frac{3}{2}}=2^3=8.$$

Так как $16^x={\left(4^x\right)}^2$, сделаем замену $t=4^x$, где $t>0$:

$$\frac{t^2}{32}-\frac{3t}{8}+1⩾0.$$

Умножим обе части на $32>0$:

$$t^2-12t+32⩾0\iff (t-4)(t-8)⩾0.$$

Корни $4$ и $8$ найдены по теореме Виета. Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $t⩽4$ или $t⩾8$, с учётом $t>0$ — это $0<t⩽4$ или $t⩾8$.

Сделаем обратную замену. Запишем $4=4^1$, $8=2^3=4^{\frac{3}{2}}$. Функция $y=4^x$ возрастает, условие $4^x>0$ выполняется всегда:

$$[\begin{array}{l}{4}^x⩽4^1,\\ 4^x⩾4^{\frac{3}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ x⩾\frac{3}{2}.\end{array}$$

2) Второе неравенство. Запишем $1={\log }_{2}2$. Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому неравенство вместе с условием положительности аргумента (ОДЗ) равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{2x^2+5x-7}{3x-2}>0,\\ \frac{2x^2+5x-7}{3x-2}⩽2.\end{array}$$

Разложим числитель на множители: у трёхчлена $2x^2+5x-7$ дискриминант $D=25+56=81$, корни $x=\frac{-5\pm 9}{4}$, то есть $x=1$ и $x=-\frac{7}{2}$. Значит, $2x^2+5x-7=(x-1)(2x+7)$.

Решим первое неравенство системы:

$$\frac{(x-1)(2x+7)}{3x-2}>0.$$

Все точки $-\frac{7}{2}$, $\frac{2}{3}$, $1$ выкалываем, так как неравенство строгое. При $x>1$ дробь положительна, дальше знаки чередуются.

Получаем $-\frac{7}{2}<x<\frac{2}{3}$ или $x>1$.

Решим второе неравенство системы. Перенесём $2$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2x^2+5x-7-2(3x-2)}{3x-2}⩽0\iff \frac{2x^2-x-3}{3x-2}⩽0.$$

У трёхчлена $2x^2-x-3$ дискриминант $D=1+24=25$, корни $x=\frac{1\pm 5}{4}$, то есть $x=\frac{3}{2}$ и $x=-1$. Значит, $2x^2-x-3=(x+1)(2x-3)$:

$$\frac{(x+1)(2x-3)}{3x-2}⩽0.$$

Нули числителя $-1$ и $\frac{3}{2}$ закрашиваем, нуль знаменателя $\frac{2}{3}$ выкалываем. При $x>\frac{3}{2}$ дробь положительна.

Получаем $x⩽-1$ или $\frac{2}{3}<x⩽\frac{3}{2}$.

Пересечём решения двух неравенств. Точки идут в порядке $-\frac{7}{2}<-1<\frac{2}{3}<1<\frac{3}{2}$. Промежуток $\left(-\infty ;-1\right]$ пересекается с $\left(-\frac{7}{2};\frac{2}{3}\right)$ по $\left(-\frac{7}{2};-1\right]$, а промежуток $\left(\frac{2}{3};\frac{3}{2}\right]$ пересекается с лучом $(1;+\infty )$ по $\left(1;\frac{3}{2}\right]$. Решение второго неравенства исходной системы:

$$x\in \left(-\frac{7}{2};-1\right]\cup \left(1;\frac{3}{2}\right].$$

3) Пересечём решения обоих неравенств исходной системы: $x⩽1$ или $x⩾\frac{3}{2}$ из первого и $x\in \left(-\frac{7}{2};-1\right]\cup \left(1;\frac{3}{2}\right]$ из второго.

Промежуток $\left(-\frac{7}{2};-1\right]$ целиком лежит на луче $x⩽1$. Промежуток $\left(1;\frac{3}{2}\right]$ с лучом $x⩽1$ не пересекается, а с лучом $x⩾\frac{3}{2}$ имеет одну общую точку $x=\frac{3}{2}$.

Ответ: $\left(-\frac{7}{2};-1\right]\cup \left\{\frac{3}{2}\right\}$.