ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}(2x+1{)}^2>0,\\ 1-x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne -\frac{1}{2},\\ x<1.\end{array}$$

Упростим первый логарифм. Так как $(2x+1{)}^2=|2x+1{|}^2$ и $9=3^2$, по свойству ${\log }_{a^2}{b}^2={\log }_{a}b$ (при $b>0$) получаем

$${\log }_9(2x+1{)}^2={\log }_{3^2}|2x+1{|}^2={\log }_3|2x+1|.$$

Неравенство принимает вид

$$\left|{\log }_3|2x+1|-1\right|-\left|{\log }_3(1-x)-3\right|⩾1.$$

Обозначим $A={\log }_3|2x+1|-1$, $B={\log }_3(1-x)-3$ и выясним, где эти выражения неотрицательны.

$A⩾0\iff {\log }_3|2x+1|⩾{\log }_{3}3\iff |2x+1|⩾3$, то есть $2x+1⩾3$ или $2x+1⩽-3$, откуда $x⩾1$ или $x⩽-2$. С учётом ОДЗ ($x<1$): $A⩾0$ при $x⩽-2$ и $A<0$ при $-2<x<1$.

$B⩾0\iff {\log }_3(1-x)⩾{\log }_{3}27\iff 1-x⩾27\iff x⩽-26$. При $-26<x<1$ выражение $B$ отрицательно.

Отметим на числовой прямой ОДЗ и точки $-26$ и $-2$, в которых меняются знаки подмодульных выражений:

Получаем три случая.

Случай 1: $x⩽-26$. Здесь $A⩾0$ и $B⩾0$, оба модуля раскрываются со знаком плюс:

$${\log }_3|2x+1|-1-{\log }_3(1-x)+3⩾1\iff {\log }_3\frac{|2x+1|}{1-x}⩾-1.$$

При $x⩽-26$ выражение $2x+1$ отрицательно, поэтому $|2x+1|=-(2x+1)$, и $\frac{|2x+1|}{1-x}=\frac{2x+1}{x-1}$. Запишем $-1={\log }_3\frac{1}{3}$. Основание $3>1$, логарифм возрастает:

$$\frac{2x+1}{x-1}⩾\frac{1}{3}\iff \frac{3(2x+1)-(x-1)}{3(x-1)}⩾0\iff \frac{5x+4}{x-1}⩾0.$$

Методом интервалов: нуль числителя $-\frac{4}{5}$ закрашиваем, нуль знаменателя $1$ выкалываем.

Получаем $x⩽-\frac{4}{5}$ или $x>1$. Все $x⩽-26$ удовлетворяют условию $x⩽-\frac{4}{5}$, поэтому в первом случае решение — весь луч $(-\infty ;-26]$.

Случай 2: $-26<x⩽-2$. Здесь $A⩾0$, $B<0$, поэтому $|A|=A$, $|B|=-B$:

$${\log }_3|2x+1|-1+{\log }_3(1-x)-3⩾1\iff {\log }_3(|2x+1|(1-x))⩾5.$$

Мы воспользовались формулой логарифма произведения. Здесь $2x+1<0$, поэтому

$$|2x+1|(1-x)=-(2x+1)(1-x)=(2x+1)(x-1)=2x^2-x-1.$$

Запишем $5={\log }_3{3}^5={\log }_{3}243$. Логарифм по основанию $3$ возрастает:

$$2x^2-x-1⩾243\iff 2x^2-x-244⩾0.$$

Найдём корни: $D=1+8\cdot 244=1953=9\cdot 217$, $\sqrt{D}=3\sqrt{217}$,

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3\sqrt{217}}{4}.$$

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне промежутка между корнями:

Получаем $x⩽\frac{1-3\sqrt{217}}{4}$ или $x⩾\frac{1+3\sqrt{217}}{4}$. Второй корень положителен, поэтому луч $x⩾\frac{1+3\sqrt{217}}{4}$ с промежутком $(-26;-2]$ не пересекается. Оценим первый корень. Так как $196<217<225$, то $14<\sqrt{217}<15$, $42<3\sqrt{217}<45$ и

$$-11=\frac{1-45}{4}<\frac{1-3\sqrt{217}}{4}<\frac{1-42}{4}=-10,25.$$

Значит, $-26<\frac{1-3\sqrt{217}}{4}<-2$, и во втором случае решение — $\left(-26;\frac{1-3\sqrt{217}}{4}\right]$.

Случай 3: $-2<x<1$, $x\ne -\frac{1}{2}$. Здесь $A<0$ и $B<0$, поэтому $|A|=-A$, $|B|=-B$:

$$-{\log }_3|2x+1|+1+{\log }_3(1-x)-3⩾1\iff {\log }_3\frac{1-x}{|2x+1|}⩾3.$$

Мы воспользовались формулой логарифма частного. Запишем $3={\log }_{3}27$; логарифм возрастает, поэтому

$$\frac{1-x}{|2x+1|}⩾27.$$

Чтобы раскрыть модуль, рассмотрим два подслучая.

Пусть $-\frac{1}{2}<x<1$. Тогда $|2x+1|=2x+1$:

$$\frac{1-x}{2x+1}-27⩾0\iff \frac{1-x-54x-27}{2x+1}⩾0\iff \frac{-55x-26}{2x+1}⩾0\iff \frac{55x+26}{2x+1}⩽0.$$

Методом интервалов: нуль числителя $-\frac{26}{55}$ закрашиваем, нуль знаменателя $-\frac{1}{2}$ выкалываем. Заметим, что $-\frac{26}{55}>-\frac{1}{2}$, так как $\frac{26}{55}=\frac{52}{110}<\frac{55}{110}=\frac{1}{2}$.

Получаем $-\frac{1}{2}<x⩽-\frac{26}{55}$; этот промежуток целиком лежит в рассматриваемом подслучае.

Пусть $-2<x<-\frac{1}{2}$. Тогда $|2x+1|=-(2x+1)$:

$$\frac{1-x}{-(2x+1)}-27⩾0\iff \frac{1-x+27(2x+1)}{-(2x+1)}⩾0\iff \frac{53x+28}{2x+1}⩽0.$$

Методом интервалов: нуль числителя $-\frac{28}{53}$ закрашиваем, нуль знаменателя $-\frac{1}{2}$ выкалываем. Здесь $-\frac{28}{53}<-\frac{1}{2}$, так как $\frac{28}{53}=\frac{56}{106}>\frac{53}{106}=\frac{1}{2}$.

Получаем $-\frac{28}{53}⩽x<-\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{28}{53}>-2$, этот промежуток целиком лежит в рассматриваемом подслучае.

Объединим решения всех случаев. Лучи $(-\infty ;-26]$ и $\left(-26;\frac{1-3\sqrt{217}}{4}\right]$ вместе дают луч $\left(-\infty ;\frac{1-3\sqrt{217}}{4}\right]$.

Ответ: $\left(-\infty ;\frac{1-3\sqrt{217}}{4}\right]\cup \left[-\frac{28}{53};-\frac{1}{2}\right)\cup \left(-\frac{1}{2};-\frac{26}{55}\right]$.