ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}{x}^2>0,\\ 2x^2-10x+12,5>0.\end{array}$$

Первое условие означает $x\ne 0$. Во втором выделим полный квадрат:

$$2x^2-10x+12,5=2\left(x^2-5x+6,25\right)=2(x-2,5{)}^2.$$

Это выражение положительно при всех $x\ne 2,5$. Итак, ОДЗ: $x\ne 0$, $x\ne 2,5$.

Оценим знаменатель. Квадрат логарифма неотрицателен, поэтому

$${\log }_6^2\left(2x^2-10x+12,5\right)+1⩾1>0.$$

Дробь с положительным знаменателем неотрицательна тогда и только тогда, когда неотрицателен числитель. Значит, на ОДЗ неравенство равносильно

$${\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2⩾0.$$

Перейдём к основанию $2$ по формуле ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$:

$${\log }_3{x}^2=\frac{{\log }_2{x}^2}{{\log }_{2}3},{\log }_2{x}^2-{\log }_3{x}^2={\log }_2{x}^2\cdot \left(1-\frac{1}{{\log }_{2}3}\right).$$

Так как $3>2$, то ${\log }_{2}3>{\log }_{2}2=1$, и множитель $1-\frac{1}{{\log }_{2}3}$ положителен. Разделим на него, знак неравенства сохранится:

$${\log }_2{x}^2⩾0\iff {\log }_2{x}^2⩾{\log }_{2}1.$$

Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому

$$x^2⩾1\iff (x-1)(x+1)⩾0.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $x⩽-1$ или $x⩾1$.

Учтём ОДЗ. Точка $x=0$ в найденное множество не входит. Точка $x=2,5$ лежит на луче $[1;+\infty )$, её нужно выколоть.

Ответ: $(-\infty ;-1]\cup [1;2,5)\cup (2,5;+\infty )$.