Решите неравенство log₇(2x²+12)-log₇(x²-x+12)≥log₇(2-1/x) — 16 задание ЕГЭ профиль

№16 Логарифмические неравенства средняя развёрнутое

Решите неравенство $lo g_{7} (2 x^{2} + 12) - lo g_{7} (x^{2} - x + 12) \geq lo g_{7} (2 - \frac{1}{x})$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: все аргументы логарифмов положительны.

$⎩ ⎨ ⎧ 2 x^{2} + 12 > 0, x^{2} - x + 12 > 0, 2 - \frac{1}{x} > 0.$

Первое неравенство верно при всех $x$ , так как $2 x^{2} + 12 ⩾ 12$ . У трёхчлена $x^{2} - x + 12$ дискриминант $D = 1 - 48 = - 47 < 0$ , а старший коэффициент положителен, поэтому второе неравенство тоже верно при всех $x$ . Третье неравенство запишем как дробь:

$2 - \frac{1}{x} = \frac{2 x - 1}{x} > 0.$

Методом интервалов с выколотыми точками $0$ и $\frac{1}{2}$ :

Метод интервалов

ОДЗ: $x < 0$ или $x > \frac{1}{2}$ .

По свойству разности логарифмов $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c}$ (при $b > 0$ , $c > 0$ ) неравенство принимает вид

$lo g_{7} \frac{2 x ^{2} + 12}{x ^{2} - x + 12} ⩾ lo g_{7} \frac{2 x - 1}{x} .$

Основание $7 > 1$ , логарифмическая функция возрастает, и на ОДЗ оба аргумента положительны. Поэтому на ОДЗ неравенство равносильно неравенству для аргументов с тем же знаком:

$\frac{2 x ^{2} + 12}{x ^{2} - x + 12} ⩾ \frac{2 x - 1}{x} .$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $x (x^{2} - x + 12)$ :

$\frac{x ( 2 x ^{2} + 12 ) - ( 2 x - 1 ) ( x ^{2} - x + 12 )}{x ( x ^{2} - x + 12 )} ⩾ 0.$

Раскроем скобки в числителе:

$x (2 x^{2} + 12) = 2 x^{3} + 12 x, (2 x - 1) (x^{2} - x + 12) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 25 x - 12,$

$(2 x^{3} + 12 x) - (2 x^{3} - 3 x^{2} + 25 x - 12) = 3 x^{2} - 13 x + 12.$

Корни трёхчлена $3 x^{2} - 13 x + 12$ : $D = 169 - 144 = 25$ , $x = \frac{13 \pm 5}{6}$ , то есть $x = 3$ и $x = \frac{4}{3}$ . Значит, $3 x^{2} - 13 x + 12 = (3 x - 4) (x - 3)$ .

Множитель $x^{2} - x + 12$ положителен при всех $x$ , разделим на него — знак неравенства не изменится:

$\frac{( 3 x - 4 ) ( x - 3 )}{x} ⩾ 0.$

Решим методом интервалов: нули числителя $\frac{4}{3}$ и $3$ закрашиваем, нуль знаменателя $0$ выкалываем. При $x > 3$ дробь положительна.

Метод интервалов

Получаем $x \in (0; \frac{4}{3}] \cup [3; + \infty)$ .

Пересечём с ОДЗ ( $x < 0$ или $x > \frac{1}{2}$ ). Из промежутка $(0; \frac{4}{3}]$ остаётся $(\frac{1}{2}; \frac{4}{3}]$ , а луч $[3; + \infty)$ целиком лежит в ОДЗ.

Ответ на числовой прямой

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{4}{3}] \cup [3; + \infty)$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Сообщить об ошибке

Ещё задания №16