ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим числитель на множители способом группировки:

$$27x^3+9x^2-3x-1=9x^2(3x+1)-(3x+1)=(3x+1)\left(9x^2-1\right)=(3x+1{)}^2(3x-1).$$

На последнем шаге мы разложили разность квадратов $9x^2-1=(3x-1)(3x+1)$.

Преобразуем знаменатель. Так как $64^{x^2}={\left(8^2\right)}^{x^2}={\left(8^{x^2}\right)}^2$, знаменатель — полный квадрат:

$$64^{x^2}-4\cdot 8^{x^2}+4={\left(8^{x^2}\right)}^2-2\cdot 8^{x^2}\cdot 2+2^2={\left(8^{x^2}-2\right)}^2.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{(3x+1{)}^2(3x-1)}{{\left(8^{x^2}-2\right)}^2}⩾0.$$

Знаменатель — квадрат, он неотрицателен и по смыслу дроби не равен нулю, значит, на области определения он положителен. Дробь с положительным знаменателем неотрицательна тогда и только тогда, когда неотрицателен числитель. Поэтому неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}(3x+1{)}^2(3x-1)⩾0,\\ 8^{x^2}-2\ne 0.\end{array}$$

Решим второе условие. Запишем $8^{x^2}=2^{3x^2}$ и $2=2^1$:

$$2^{3x^2}\ne 2^1\iff 3x^2\ne 1\iff x\ne \pm \frac{1}{\sqrt{3}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Решим первое неравенство методом интервалов. Нули $x=-\frac{1}{3}$ и $x=\frac{1}{3}$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. При $x>\frac{1}{3}$ произведение положительно. Корень $x=-\frac{1}{3}$ имеет чётную кратность, при переходе через него знак не меняется.

Получаем $x=-\frac{1}{3}$ (в этой точке левая часть равна нулю) или $x⩾\frac{1}{3}$.

Учтём условие $x\ne \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Точка $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ в найденное множество не входит. Так как $\sqrt{3}>1$, то $\frac{\sqrt{3}}{3}>\frac{1}{3}$, и точка $\frac{\sqrt{3}}{3}$ лежит на луче $\left[\frac{1}{3};+\infty \right)$ — её нужно выколоть.

Ответ: $\left\{-\frac{1}{3}\right\}\cup \left[\frac{1}{3};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$.