ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем числитель: $4^{x+1}=4\cdot 4^x$, поэтому $4^{x+1}+4^x-4=5\cdot 4^x-4$. В знаменателе $16^x={\left(4^x\right)}^2$.

Сделаем замену $t=4^x$, где $t>0$:

$$\frac{5t-4}{t^2-9t+8}⩾-1.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2-9t+8$ равны $1$ и $8$, поэтому $t^2-9t+8=(t-1)(t-8)$. Знаменатель не равен нулю: $t\ne 1$, $t\ne 8$.

Знак знаменателя заранее неизвестен, поэтому умножать на него нельзя. Перенесём $-1$ в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{5t-4}{t^2-9t+8}+1⩾0\iff \frac{(5t-4)+\left(t^2-9t+8\right)}{(t-1)(t-8)}⩾0.$$

Числитель: $t^2-4t+4=(t-2{)}^2$. Получаем

$$\frac{(t-2{)}^2}{(t-1)(t-8)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=2$ закрашиваем: в нём дробь равна нулю, а неравенство нестрогое. Это корень чётной кратности, при переходе через него знак не меняется. Нули знаменателя $t=1$ и $t=8$ выкалываем. При $t>8$ дробь положительна.

Получаем $t<1$, $t=2$ или $t>8$. С учётом $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t<1,\\ t=2,\\ t>8.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Условие $4^x>0$ выполняется при всех $x$. Удобно перейти к основанию $2$: $4^x=2^{2x}$, а $1=2^0$, $2=2^1$, $8=2^3$. Функция $y=2^x$ возрастает, поэтому знаки неравенств между показателями сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{2}^{2x}<2^0,\\ 2^{2x}=2^1,\\ 2^{2x}>2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}2x<0,\\ 2x=1,\\ 2x>3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<0,\\ x=\frac{1}{2},\\ x>\frac{3}{2}.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.