ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен.

$$2^x-2>0\iff 2^x>2^1\iff x>1,$$

так как основание $2>1$ и показательная функция возрастает.

На ОДЗ применим основное логарифмическое тождество $a^{{\log }_{a}b}=b$ (оно верно только при $b>0$, поэтому ОДЗ здесь важна):

$$3^{{\log }_3\left(2^x-2\right)}=2^x-2.$$

Неравенство принимает вид

$$2^x-2+4^x-18⩽0.$$

Так как $4^x={\left(2^x\right)}^2$, сделаем замену $t=2^x$. Из ОДЗ $2^x>2$, то есть $t>2$. Получаем

$$t^2+t-20⩽0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена равны $-5$ и $4$, поэтому

$$(t+5)(t-4)⩽0.$$

Решим методом интервалов, корни закрашиваем:

Получаем $-5⩽t⩽4$. С учётом условия $t>2$ остаётся $2<t⩽4$.

Сделаем обратную замену. Функция $y=2^x$ возрастает, поэтому

$$2^1<2^x⩽2^2\iff 1<x⩽2.$$

Все эти значения удовлетворяют ОДЗ $x>1$.

Ответ: $(1;2]$.