ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Обе части неравенства определены при всех $x$. Приведём левую часть к одному основанию. По основному логарифмическому тождеству $a^{{\log }_{a}b}=b$ имеем $5=6^{{\log }_{6}5}$, поэтому

$$5^{3|x|}={\left(6^{{\log }_{6}5}\right)}^{3|x|}=6^{3|x|{\log }_{6}5}.$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а $1=6^0$. Неравенство принимает вид

$$6^{2x^2-5|x|+3|x|{\log }_{6}5}⩽6^0.$$

Так как $x^2=|x{|}^2$, сделаем замену $t=|x|$, где $t⩾0$:

$$6^{2t^2-5t+3t{\log }_{6}5}⩽6^0.$$

Основание $6>1$, показательная функция возрастает, поэтому неравенство равносильно неравенству для показателей с тем же знаком:

$$2t^2-5t+3t{\log }_{6}5⩽0\iff t\left(2t-5+3{\log }_{6}5\right)⩽0.$$

Нули левой части: $t=0$ и $t_0=\frac{5-3{\log }_{6}5}{2}$. Определим знак $t_0$. Так как $1<5<6$, то ${\log }_{6}1<{\log }_{6}5<{\log }_{6}6$, то есть $0<{\log }_{6}5<1$. Значит, $3{\log }_{6}5<3<5$ и $t_0>0$.

Решим неравенство методом интервалов. Корни закрашиваем, так как неравенство нестрогое. При больших $t$ оба множителя положительны.

Получаем $0⩽t⩽\frac{5-3{\log }_{6}5}{2}$. Условие $t⩾0$ здесь выполнено.

Сделаем обратную замену. Неравенство $|x|⩾0$ верно всегда, а неравенство $|x|⩽t_0$ при $t_0>0$ равносильно двойному неравенству $-t_0⩽x⩽t_0$:

$$|x|⩽\frac{5-3{\log }_{6}5}{2}\iff \frac{3{\log }_{6}5-5}{2}⩽x⩽\frac{5-3{\log }_{6}5}{2}.$$

Ответ: $\left[\frac{3{\log }_{6}5-5}{2};\frac{5-3{\log }_{6}5}{2}\right]$.