ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ограничения. Знаменатели не равны нулю: $x^2-2x-3\ne 0$ и $x+1\ne 0$. По теореме Виета корни трёхчлена $x^2-2x-3$ равны $3$ и $-1$, поэтому $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$. Итак, $x\ne -1$, $x\ne 3$.

Разложим числитель первой дроби, вынеся $x^2$ и свернув полный квадрат:

$$x^4-6x^3+9x^2=x^2\left(x^2-6x+9\right)=x^2(x-3{)}^2.$$

При $x\ne 3$ первую дробь можно сократить на $x-3$:

$$\frac{x^2(x-3{)}^2}{(x-3)(x+1)}=\frac{x^2(x-3)}{x+1}.$$

Сокращение сохраняет равносильность, только если помнить ограничение $x\ne 3$. Перенесём $1$ в левую часть и внесём его во вторую дробь:

$$\frac{2x^3-3x^2-x-9}{x+1}+1=\frac{2x^3-3x^2-x-9+x+1}{x+1}=\frac{2x^3-3x^2-8}{x+1}.$$

Исходное неравенство равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\frac{x^2(x-3)}{x+1}-\frac{2x^3-3x^2-8}{x+1}⩽0,\\ x\ne 3.\end{array}$$

Упростим числитель первого неравенства: $x^3-3x^2-2x^3+3x^2+8=8-x^3$. Получаем

$$\frac{8-x^3}{x+1}⩽0\iff \frac{x^3-8}{x+1}⩾0.$$

Разложим разность кубов: $x^3-8=(x-2)\left(x^2+2x+4\right)$. Множитель $x^2+2x+4=(x+1{)}^2+3$ положителен при всех $x$, поэтому на него можно разделить, не меняя знака неравенства:

$$\frac{x-2}{x+1}⩾0.$$

Решим методом интервалов: нуль числителя $x=2$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=-1$ выкалываем.

Получаем $x<-1$ или $x⩾2$. Учтём ограничение $x\ne 3$: точка $3$ лежит на луче $[2;+\infty )$, её нужно выколоть.

Ответ: $(-\infty ;-1)\cup [2;3)\cup (3;+\infty )$.