ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны, знаменатели — отличны от нуля:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{2}x\ne 0,\\ 1-{\log }_2^2(2x)\ne 0.\end{array}$$

Условия $4x>0$ и $2x>0$ следуют из $x>0$. Из второго условия $x\ne 1$. Третье условие означает ${\log }_2(2x)\ne \pm 1$, то есть $2x\ne 2$ и $2x\ne \frac{1}{2}$, откуда $x\ne 1$ и $x\ne \frac{1}{4}$. Итак, ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{4}$, $x\ne 1$.

По формуле логарифма произведения

$${\log }_2(4x)={\log }_{2}4+{\log }_{2}x=2+{\log }_{2}x,{\log }_2(2x)=1+{\log }_{2}x.$$

Сделаем замену $t={\log }_{2}x$. Неравенство примет вид

$$\frac{2+t}{1-(1+t{)}^2}-\frac{1}{t}⩾0.$$

Разложим знаменатель первой дроби как разность квадратов:

$$1-(1+t{)}^2=(1-(1+t)\left)\right(1+(1+t))=-t(t+2).$$

Ограничения в новой переменной: $t\ne 0$, $t\ne -2$ — они соответствуют $x\ne 1$ и $x\ne \frac{1}{4}$. Подставим и умножим обе части на $-1$, поменяв знак неравенства:

$$-\frac{t+2}{t(t+2)}-\frac{1}{t}⩾0\iff \frac{t+2}{t(t+2)}+\frac{1}{t}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю $t(t+2)$:

$$\frac{(t+2)+(t+2)}{t(t+2)}⩽0\iff \frac{2(t+2)}{t(t+2)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Точка $t=-2$ — нуль и числителя, и знаменателя: дробь в ней не определена, поэтому точку выкалываем. Множитель $t+2$ входит в числитель и знаменатель, то есть в сумме в чётной степени, и при переходе через $t=-2$ знак не меняется. Точку $t=0$ тоже выкалываем. При $t>0$ дробь положительна.

Получаем $t<0$, $t\ne -2$.

Сделаем обратную замену и запишем $0={\log }_{2}1$, $-2={\log }_2\frac{1}{4}$:

$$\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x<{\log }_{2}1,\\ {\log }_{2}x\ne {\log }_2\frac{1}{4}.\end{array}$$

Основание $2>1$, логарифм возрастает, поэтому с учётом $x>0$:

$$\{\begin{array}{l}0<x<1,\\ x\ne \frac{1}{4}.\end{array}$$

Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{4};1\right)$.