ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: в показателях стоит $\frac{3}{x}$, поэтому $x\ne 0$.

Распишем степени, пользуясь свойствами $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и $(ab{)}^n=a^n\cdot b^n$:

$$25^{1-\frac{3}{x}}=25\cdot {\left(5^{-\frac{3}{x}}\right)}^2,15^{-\frac{3}{x}}=5^{-\frac{3}{x}}\cdot 3^{-\frac{3}{x}},3^{2-\frac{6}{x}}=9\cdot {\left(3^{-\frac{3}{x}}\right)}^2.$$

Неравенство примет вид

$$75\cdot {\left(5^{-\frac{3}{x}}\right)}^2-152\cdot 5^{-\frac{3}{x}}\cdot 3^{-\frac{3}{x}}+45\cdot {\left(3^{-\frac{3}{x}}\right)}^2>0.$$

Это однородное неравенство второй степени относительно $5^{-\frac{3}{x}}$ и $3^{-\frac{3}{x}}$. Разделим обе части на ${\left(3^{-\frac{3}{x}}\right)}^2>0$ — знак неравенства не изменится. Так как $\frac{5^{-\frac{3}{x}}}{3^{-\frac{3}{x}}}={\left(\frac{5}{3}\right)}^{-\frac{3}{x}}$, получаем

$$75\cdot {\left({\left(\frac{5}{3}\right)}^{-\frac{3}{x}}\right)}^2-152\cdot {\left(\frac{5}{3}\right)}^{-\frac{3}{x}}+45>0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{5}{3}\right)}^{-\frac{3}{x}}$, где $t>0$:

$$75t^2-152t+45>0.$$

Найдём корни трёхчлена. Второй коэффициент чётный, поэтому удобно считать $\frac{D}{4}$:

$$\frac{D}{4}=76^2-75\cdot 45=5776-3375=2401=49^2,t=\frac{76\pm 49}{75}.$$

Отсюда $t_1=\frac{27}{75}=\frac{9}{25}$, $t_2=\frac{125}{75}=\frac{5}{3}$, и $75t^2-152t+45=75\left(t-\frac{9}{25}\right)\left(t-\frac{5}{3}\right)$. Решим неравенство методом интервалов, корни выкалываем (неравенство строгое):

Получаем $t<\frac{9}{25}$ или $t>\frac{5}{3}$, с учётом $t>0$ — это $0<t<\frac{9}{25}$ или $t>\frac{5}{3}$.

Сделаем обратную замену. Условие $t>0$ выполняется всегда. Запишем границы как степени $\frac{5}{3}$: $\frac{9}{25}={\left(\frac{3}{5}\right)}^2={\left(\frac{5}{3}\right)}^{-2}$ и $\frac{5}{3}={\left(\frac{5}{3}\right)}^1$. Основание $\frac{5}{3}>1$, функция возрастает, поэтому знаки неравенств между показателями сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{\left(\frac{5}{3}\right)}^{-\frac{3}{x}}<{\left(\frac{5}{3}\right)}^{-2},\\ {\left(\frac{5}{3}\right)}^{-\frac{3}{x}}>{\left(\frac{5}{3}\right)}^1\end{array}\iff [\begin{array}{l}-\frac{3}{x}<-2,\\ -\frac{3}{x}>1.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Перенесём всё в левую часть:

$$2-\frac{3}{x}<0\iff \frac{2x-3}{x}<0.$$

Методом интервалов с выколотыми точками $0$ и $\frac{3}{2}$:

Получаем $0<x<\frac{3}{2}$.

Решим второе неравенство:

$$-\frac{3}{x}-1>0\iff \frac{-3-x}{x}>0\iff \frac{x+3}{x}<0.$$

Методом интервалов с выколотыми точками $-3$ и $0$:

Получаем $-3<x<0$.

Объединим решения совокупности. Все найденные значения удовлетворяют ОДЗ $x\ne 0$.

Ответ: $(-3;0)\cup (0;1,5)$.