ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: выражение $\frac{1}{x}$ определено при $x\ne 0$.

Заметим, что $9^{\frac{1}{x}-1}={\left(3^2\right)}^{\frac{1}{x}-1}={\left(3^{\frac{1}{x}-1}\right)}^2$. Сделаем замену $t=3^{\frac{1}{x}-1}$, где $t>0$ (показательная функция принимает только положительные значения). Неравенство примет вид

$$t^2+2t-3⩾0.$$

По теореме Виета корни трёхчлена $t^2+2t-3$ равны $-3$ и $1$, поэтому

$$(t+3)(t-1)⩾0.$$

Решим методом интервалов. Корни закрашиваем, так как неравенство нестрогое. При $t>1$ оба множителя положительны.

Получаем $t⩽-3$ или $t⩾1$. Первый случай невозможен, так как $t>0$. Остаётся $t⩾1$.

Сделаем обратную замену и запишем $1=3^0$:

$$3^{\frac{1}{x}-1}⩾3^0.$$

Основание $3>1$, показательная функция возрастает, поэтому неравенство равносильно неравенству для показателей с тем же знаком:

$$\frac{1}{x}-1⩾0\iff \frac{1-x}{x}⩾0\iff \frac{x-1}{x}⩽0.$$

Последний переход — умножение числителя на $-1$ со сменой знака неравенства. Решим методом интервалов: нуль числителя $x=1$ закрашиваем, нуль знаменателя $x=0$ выкалываем.

Получаем $0<x⩽1$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ $x\ne 0$.

Ответ: $(0;1]$.