ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Преобразуем левую часть. Так как $4^{x-2}=\frac{4^x}{16}$, то $2\cdot 4^{x-2}=\frac{4^x}{8}$. Умножим числитель и знаменатель левой дроби на $8$:

$$\frac{2\cdot 4^{x-2}}{2\cdot 4^{x-2}-1}=\frac{\frac{4^x}{8}}{\frac{4^x}{8}-1}=\frac{4^x}{4^x-8}.$$

Сделаем замену $t=4^x$, где $t>0$; тогда $16^x={\left(4^x\right)}^2=t^2$. Трёхчлен $t^2-9t+8$ по теореме Виета имеет корни $1$ и $8$, поэтому $t^2-9t+8=(t-1)(t-8)$. Неравенство примет вид

$$\frac{t}{t-8}⩾\frac{7}{t-1}+\frac{40}{(t-1)(t-8)}.$$

Ограничения: знаменатели не равны нулю, то есть $t\ne 1$ и $t\ne 8$.

Знаки знаменателей неизвестны, поэтому умножать на них нельзя. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-1)(t-8)$:

$$\frac{t(t-1)-7(t-8)-40}{(t-1)(t-8)}⩾0.$$

Упростим числитель:

$$t^2-t-7t+56-40=t^2-8t+16=(t-4{)}^2.$$

Получаем

$$\frac{(t-4{)}^2}{(t-1)(t-8)}⩾0.$$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя $t=4$ закрашиваем: в нём дробь равна нулю, а неравенство нестрогое. Это корень чётной кратности, при переходе через него знак не меняется. Нули знаменателя $t=1$ и $t=8$ выкалываем. При $t>8$ дробь положительна.

Получаем $t<1$, $t=4$ или $t>8$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t<1,\\ t=4,\\ t>8.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем границы как степени четвёрки: $1=4^0$, $4=4^1$, $8=2^3=4^{\frac{3}{2}}$. Функция $y=4^x$ возрастает (основание $4>1$), поэтому знаки неравенств между показателями сохраняются, а условие $4^x>0$ выполняется всегда:

$$[\begin{array}{l}{4}^x<4^0,\\ 4^x=4^1,\\ 4^x>4^{\frac{3}{2}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<0,\\ x=1,\\ x>\frac{3}{2}.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;0)\cup \{1\}\cup \left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.