ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительны.

$$\{\begin{array}{l}2-3x>0,\\ 9x^2-12x+4>0.\end{array}$$

Второе выражение — полный квадрат: $9x^2-12x+4=(3x-2{)}^2=(2-3x{)}^2$. Он положителен при всех $x\ne \frac{2}{3}$, а это уже следует из первого условия. Значит, ОДЗ: $2-3x>0$, то есть $x<\frac{2}{3}$.

Перейдём к основанию $5$. Так как $125=5^3$ и $0,2=5^{-1}$, по формуле ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ получаем

$${\log }_{125}(2-3x)=\frac{1}{3}{\log }_5(2-3x),{\log }_{0,2}(2-3x{)}^2=-{\log }_5(2-3x{)}^2.$$

На ОДЗ $2-3x>0$, поэтому показатель степени можно вынести за знак логарифма: ${\log }_5(2-3x{)}^2=2{\log }_5(2-3x)$. В общем случае получилось бы $2{\log }_5|2-3x|$, но здесь модуль раскрывается со знаком плюс. Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2}{3}\cdot {\log }_5(2-3x)-2{\log }_5(2-3x)<0.$$

Вынесем общий множитель ${\log }_5(2-3x)$ за скобки и умножим обе части на $3>0$ (знак неравенства сохраняется):

$$\left(\frac{x^2}{3}-2\right){\log }_5(2-3x)<0\iff \left(x^2-6\right){\log }_5(2-3x)<0.$$

Применим метод рационализации. Запишем ${\log }_5(2-3x)={\log }_5(2-3x)-{\log }_{5}1$. На ОДЗ эта разность имеет тот же знак, что $(5-1)((2-3x)-1)=4(1-3x)$, то есть тот же знак, что $1-3x$. Получаем систему, равносильную исходному неравенству:

$$\{\begin{array}{l}\left(x^2-6\right)(1-3x)<0,\\ x<\frac{2}{3}.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Умножим его на $-1$, поменяв знак неравенства, и разложим разность квадратов $x^2-6=\left(x-\sqrt{6}\right)\left(x+\sqrt{6}\right)$:

$$\left(x-\sqrt{6}\right)\left(x+\sqrt{6}\right)(3x-1)>0.$$

Применим метод интервалов. Нули множителей $x=-\sqrt{6}$, $x=\frac{1}{3}$, $x=\sqrt{6}$ выкалываем, так как неравенство строгое. При $x>\sqrt{6}$ все множители положительны, дальше знаки чередуются.

Получаем $-\sqrt{6}<x<\frac{1}{3}$ или $x>\sqrt{6}$.

Пересечём с ОДЗ $x<\frac{2}{3}$. Так как $\sqrt{6}>2>\frac{2}{3}$, луч $x>\sqrt{6}$ в ОДЗ не входит. А $\frac{1}{3}<\frac{2}{3}$, поэтому интервал $\left(-\sqrt{6};\frac{1}{3}\right)$ целиком лежит в ОДЗ.

Ответ: $\left(-\sqrt{6};\frac{1}{3}\right)$.