ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Выразим все степени через $3^x$, пользуясь свойством $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:

$$27^{x+\frac{1}{3}}=27^x\cdot 27^{\frac{1}{3}}=3\cdot {\left(3^x\right)}^3,9^{x+\frac{1}{2}}=9^x\cdot 9^{\frac{1}{2}}=3\cdot {\left(3^x\right)}^2,3^{x+1}=3\cdot 3^x.$$

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$. Неравенство примет вид

$$\frac{3t^3-10t^2+10t-5}{3t^2-10t+3}⩽t+\frac{1}{t-2}+\frac{1}{3t-1}.$$

Разложим знаменатель левой дроби на множители. Дискриминант трёхчлена $3t^2-10t+3$ равен $D=100-36=64$, корни $t=\frac{10\pm 8}{6}$, то есть $t=3$ и $t=\frac{1}{3}$. Поэтому

$$3t^2-10t+3=(3t-1)(t-3).$$

Знаменатели не должны обращаться в ноль, отсюда ограничения: $t\ne \frac{1}{3}$, $t\ne 2$, $t\ne 3$.

Выделим у левой дроби целую часть, разделив числитель на знаменатель «уголком». Первый член частного равен $t$: $t\cdot (3t^2-10t+3)=3t^3-10t^2+3t$. Остаток:

$$\left(3t^3-10t^2+10t-5\right)-\left(3t^3-10t^2+3t\right)=7t-5.$$

Значит,

$$\frac{3t^3-10t^2+10t-5}{(3t-1)(t-3)}=t+\frac{7t-5}{(3t-1)(t-3)}.$$

Сложим дроби в правой части, приведя их к общему знаменателю:

$$\frac{1}{t-2}+\frac{1}{3t-1}=\frac{(3t-1)+(t-2)}{(t-2)(3t-1)}=\frac{4t-3}{(t-2)(3t-1)}.$$

Слагаемое $t$ стоит в обеих частях неравенства. Вычтем его из обеих частей — это равносильный переход:

$$\frac{7t-5}{(3t-1)(t-3)}⩽\frac{4t-3}{(3t-1)(t-2)}.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(3t-1)(t-3)(t-2)$:

$$\frac{(7t-5)(t-2)-(4t-3)(t-3)}{(3t-1)(t-3)(t-2)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(7t-5)(t-2)=7t^2-19t+10,(4t-3)(t-3)=4t^2-15t+9,$$

$$\left(7t^2-19t+10\right)-\left(4t^2-15t+9\right)=3t^2-4t+1=(3t-1)(t-1).$$

Получаем неравенство

$$\frac{(3t-1)(t-1)}{(3t-1)(t-3)(t-2)}⩽0.$$

Решим его методом интервалов, не сокращая на $3t-1$, чтобы не потерять ограничение $t\ne \frac{1}{3}$. Нуль числителя $t=1$ закрашиваем (неравенство нестрогое). Точки $t=\frac{1}{3}$, $t=2$, $t=3$ выкалываем: в них обращается в ноль знаменатель. При $t>3$ все множители положительны, дробь положительна. При переходе через $t=1$, $t=2$, $t=3$ знак меняется. Множитель $3t-1$ стоит и в числителе, и в знаменателе, то есть в сумме в чётной степени, поэтому при переходе через $t=\frac{1}{3}$ знак не меняется.

Получаем $t<\frac{1}{3}$, или $\frac{1}{3}<t⩽1$, или $2<t<3$. С учётом условия $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t<\frac{1}{3},\\ \frac{1}{3}<t⩽1,\\ 2<t<3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену $t=3^x$. Условие $3^x>0$ выполняется при всех $x$. Запишем границы как степени тройки: $\frac{1}{3}=3^{-1}$, $1=3^0$, $2=3^{{\log }_{3}2}$, $3=3^1$. Функция $y=3^x$ возрастает (основание $3>1$), поэтому при переходе к показателям знаки неравенств сохраняются:

$$[\begin{array}{l}{3}^x<3^{-1},\\ 3^{-1}<3^x⩽3^0,\\ 3^{{\log }_{3}2}<3^x<3^1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x<-1,\\ -1<x⩽0,\\ {\log }_{3}2<x<1.\end{array}$$

Так как $1<2<3$, то $0<{\log }_{3}2<1$, и промежутки идут в таком порядке на числовой прямой:

Ответ: $(-\infty ;-1)\cup (-1;0]\cup ({\log }_{3}2;1)$.