ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны, а знаменатель не должен обращаться в ноль:

$$\{\begin{array}{l}9x>0,\\ 64x>0,\\ 5x^2-|x|\ne 0.\end{array}$$

Из первых двух условий получаем $x>0$. При $x>0$ модуль раскрывается со знаком плюс: $|x|=x$, поэтому знаменатель равен

$$5x^2-|x|=5x^2-x=x(5x-1).$$

Он обращается в ноль при $x=0$ и при $x=\frac{1}{5}$. Итак, ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{5}$.

Запишем каждый логарифм в числителе как разность логарифмов с одним основанием, вычтя логарифм единицы (он равен нулю):

$${\log }_3(9x)={\log }_3(9x)-{\log }_{3}1,{\log }_4(64x)={\log }_4(64x)-{\log }_{4}1.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ разность ${\log }_{a}f-{\log }_{a}g$ имеет тот же знак, что и произведение $(a-1)(f-g)$, и обращается в ноль в тех же точках. Основания $3$ и $4$ больше единицы, функции $y={\log }_{3}t$ и $y={\log }_{4}t$ возрастают, поэтому ${\log }_3(9x)$ имеет тот же знак, что $9x-1$, а ${\log }_4(64x)$ — тот же знак, что $64x-1$ (положительные множители $3-1$ и $4-1$ на знак не влияют).

Если заменить множители выражениями того же знака с теми же нулями, знак дроби в каждой точке ОДЗ не изменится. Значит, на ОДЗ исходное неравенство равносильно рациональному:

$$\frac{(9x-1)(64x-1)}{x(5x-1)}⩽0.$$

Решим его методом интервалов. Нули числителя $x=\frac{1}{64}$ и $x=\frac{1}{9}$ закрашиваем, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя $x=0$ и $x=\frac{1}{5}$ выкалываем. Расположим точки по порядку: $0<\frac{1}{64}<\frac{1}{9}<\frac{1}{5}$. При $x>\frac{1}{5}$ все четыре множителя положительны, и дробь положительна. Все корни простые, поэтому при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем

$$x\in \left(0;\frac{1}{64}\right]\cup \left[\frac{1}{9};\frac{1}{5}\right).$$

Все эти значения удовлетворяют ОДЗ: они положительны и не равны $\frac{1}{5}$.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{64}\right]\cup \left[\frac{1}{9};\frac{1}{5}\right)$.