ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы $4x$, $2x$, $\frac{x}{4}$ положительны при $x>0$. Знаменатели не равны нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ 1-{\log }_2^2(2x)\ne 0,\\ {\log }_2\frac{x}{4}\ne 0.\end{array}$$

Из второго условия ${\log }_2(2x)\ne \pm 1$, то есть $2x\ne 2$ и $2x\ne \frac{1}{2}$: $x\ne 1$, $x\ne \frac{1}{4}$. Из третьего $\frac{x}{4}\ne 1$: $x\ne 4$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{4}$, $x\ne 1$, $x\ne 4$.

По свойствам логарифма произведения и частного выразим всё через ${\log }_{2}x$:

$${\log }_2(4x)=2+{\log }_{2}x,{\log }_2(2x)=1+{\log }_{2}x,{\log }_2\frac{x}{4}={\log }_{2}x-2.$$

Обозначим $t={\log }_{2}x$. Ограничения ОДЗ в новой переменной: $t\ne -2$, $t\ne 0$, $t\ne 2$.

$$\frac{t+2}{1-(1+t{)}^2}-\frac{1}{t-2}⩾0.$$

Разложим знаменатель первой дроби как разность квадратов:

$$1-(1+t{)}^2=(1-1-t)(1+1+t)=-t(t+2).$$

Вынесем общий минус из обеих дробей:

$$-\left(\frac{t+2}{t(t+2)}+\frac{1}{t-2}\right)⩾0\iff \frac{t+2}{t(t+2)}+\frac{1}{t-2}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю $t(t+2)(t-2)$. Числитель: $(t+2)(t-2)+t(t+2)=t^2-4+t^2+2t=2t^2+2t-4$. Корни трёхчлена $t^2+t-2$ — числа $1$ и $-2$, поэтому $2t^2+2t-4=2(t-1)(t+2)$. Разделив на $2>0$, получаем

$$\frac{(t-1)(t+2)}{t(t-2)(t+2)}⩽0.$$

Решим методом интервалов, сохранив точку $t=-2$ выколотой: она соответствует $x=\frac{1}{4}$, где исходное неравенство не определено. Множитель $t+2$ входит в числитель и знаменатель, его суммарная степень чётная, поэтому через $t=-2$ знак не меняется. Нуль числителя $t=1$ закрашен, точки $t=0$ и $t=2$ выколоты:

Получаем совокупность: $t<0$, $t\ne -2$ или $1⩽t<2$.

Сделаем обратную замену. Основание $2>1$, логарифм возрастает, знаки сохраняются. Запишем $0={\log }_{2}1$, $-2={\log }_2\frac{1}{4}$, $1={\log }_{2}2$, $2={\log }_{2}4$:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{\log }_{2}x<{\log }_{2}1,\\ {\log }_{2}x\ne {\log }_2\frac{1}{4},\end{array}\\ {\log }_{2}2⩽{\log }_{2}x<{\log }_{2}4\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}0<x<1,\\ x\ne \frac{1}{4},\end{array}\\ 2⩽x<4.\end{array}$$

Все ограничения ОДЗ здесь уже учтены: $x>0$, точки $\frac{1}{4}$, $1$ и $4$ не входят.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{4};1\right)\cup [2;4)$.