ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Заметим, что $4^x={\left(2^x\right)}^2$. Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$:

$$t-6-\frac{9t-37}{t^2-7t+12}⩽\frac{1}{t-4}.$$

Разложим трёхчлен $t^2-7t+12$: его корни — числа с суммой $7$ и произведением $12$, то есть $3$ и $4$. Значит, $t^2-7t+12=(t-3)(t-4)$, и $t\ne 3$, $t\ne 4$.

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(t-3)(t-4)$:

$$\frac{(t-6)(t-3)(t-4)-(9t-37)-(t-3)}{(t-3)(t-4)}⩽0.$$

Сложим два последних слагаемых числителя: $-(9t-37)-(t-3)=-10t+40=-10(t-4)$. Теперь у всего числителя есть общий множитель $t-4$:

$$(t-6)(t-3)(t-4)-10(t-4)=(t-4)((t-6)(t-3)-10)=(t-4)\left(t^2-9t+8\right).$$

Корни трёхчлена $t^2-9t+8$ — числа $1$ и $8$, поэтому числитель равен $(t-4)(t-1)(t-8)$:

$$\frac{(t-1)(t-4)(t-8)}{(t-3)(t-4)}⩽0.$$

Множитель $t-4$ стоит и в числителе, и в знаменателе. При $t\ne 4$ на него можно сократить, но саму точку $t=4$ нужно исключить:

$$\{\begin{array}{l}\frac{(t-1)(t-8)}{t-3}⩽0,\\ t\ne 4.\end{array}$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $t=1$ и $t=8$ закрашены, нуль знаменателя $t=3$ выколот, точка $t=4$ тоже выколота (знак через неё не меняется):

Получаем $t⩽1$ или $3<t<4$, или $4<t⩽8$.

Сделаем обратную замену с учётом $t>0$. Функция $y=2^x$ возрастает, так как $2>1$. Число $3$ запишем как $2^{{\log }_{2}3}$:

$$[\begin{array}{l}0<2^x⩽2^0,\\ \{\begin{array}{l}{2}^{{\log }_{2}3}<2^x⩽2^3,\\ 2^x\ne 2^2\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽0,\\ \{\begin{array}{l}{\log }_{2}3<x⩽3,\\ x\ne 2.\end{array}\end{array}$$

Так как $2<3<4$, число ${\log }_{2}3$ лежит между $1$ и $2$, и точка $x=2$ действительно попадает внутрь промежутка $({\log }_{2}3;3]$.

Ответ: $(-\infty ;0]\cup ({\log }_{2}3;2)\cup (2;3]$.