ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, $x\ne 5$, $x\ne 1$.

Знаки знаменателей неизвестны, поэтому умножать на них нельзя. Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $(x-5)(1-x)$:

$$\frac{4-x}{x-5}-\frac{1}{1-x}⩽0\iff \frac{(4-x)(1-x)-(x-5)}{(x-5)(1-x)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(4-x)(1-x)-(x-5)=4-4x-x+x^2-x+5=x^2-6x+9.$$

По формуле квадрата разности $x^2-6x+9=(x-3{)}^2$:

$$\frac{(x-3{)}^2}{(x-5)(1-x)}⩽0.$$

Запишем $1-x=-(x-1)$, чтобы все множители имели вид $x-a$, и умножим обе части на $-1$ со сменой знака неравенства:

$$\frac{(x-3{)}^2}{(x-1)(x-5)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=3$ закрашен, нули знаменателя $x=1$ и $x=5$ выколоты. Множитель $(x-3{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $x=3$ знак не меняется:

Неравенство выполняется на крайних промежутках, где дробь положительна, и в точке $x=3$, где она равна нулю. Значит, $x\in (-\infty ;1)\cup \{3\}\cup (5;+\infty )$.

Ответ: $(-\infty ;1)\cup \{3\}\cup (5;+\infty )$.