ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Решим каждое неравенство системы отдельно, а затем пересечём их решения.

Первое неравенство. Найдём ОДЗ: основание положительно и не равно единице, аргумент положителен.

$$\{\begin{array}{l}5-x>0,\\ 5-x\ne 1,\\ \frac{x+4}{(x-5{)}^{10}}>0.\end{array}$$

Первые два условия дают $x<5$, $x\ne 4$. В третьем знаменатель $(x-5{)}^{10}$ положителен при $x\ne 5$, поэтому дробь положительна при $x+4>0$, то есть $x>-4$ (и $x\ne 5$). Пересекая, получаем ОДЗ: $x\in (-4;4)\cup (4;5)$.

Чётная степень не зависит от знака основания: $(x-5{)}^{10}=(5-x{)}^{10}$. На ОДЗ $x+4>0$ и $(5-x{)}^{10}>0$, поэтому логарифм частного раскладывается в разность логарифмов:

$${\log }_{5-x}\frac{x+4}{(5-x{)}^{10}}={\log }_{5-x}(x+4)-{\log }_{5-x}(5-x{)}^{10}={\log }_{5-x}(x+4)-10.$$

Неравенство принимает вид

$${\log }_{5-x}(x+4)-10⩾-10\iff {\log }_{5-x}(x+4)⩾0.$$

Применим метод рационализации: на ОДЗ знак ${\log }_{a}b$ совпадает со знаком $(a-1)(b-1)$. Действительно, при $a>1$ неравенство ${\log }_{a}b⩾0$ означает $b⩾1$, а при $0<a<1$ — что $b⩽1$; в обоих случаях это то же самое, что $(a-1)(b-1)⩾0$. Здесь $a=5-x$, $b=x+4$:

$$(5-x-1)(x+4-1)⩾0\iff (4-x)(x+3)⩾0\iff (x-4)(x+3)⩽0.$$

Получаем $x\in [-3;4]$. Пересечём с ОДЗ $(-4;4)\cup (4;5)$: точка $x=4$ выпадает.

Решение первого неравенства: $x\in [-3;4)$.

Второе неравенство. Знаменатель не равен нулю: $x\ne 7$. Перенесём $1$ в левую часть и приведём всё к общему знаменателю $x-7$:

$$\frac{\left(x^3+8x^2-1\right)(x-7)+50x^2+x-7}{x-7}⩽0.$$

Раскроем скобки:

$$\left(x^3+8x^2-1\right)(x-7)=x^4-7x^3+8x^3-56x^2-x+7=x^4+x^3-56x^2-x+7.$$

Прибавим $50x^2+x-7$:

$$x^4+x^3-56x^2-x+7+50x^2+x-7=x^4+x^3-6x^2.$$

Вынесем $x^2$ и разложим трёхчлен $x^2+x-6$ (корни $-3$ и $2$):

$$x^4+x^3-6x^2=x^2\left(x^2+x-6\right)=x^2(x+3)(x-2).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2(x+3)(x-2)}{x-7}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=-3$, $x=0$, $x=2$ закрашены, нуль знаменателя $x=7$ выколот. Множитель $x^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $x=0$ знак не меняется:

Точка $x=0$ — решение, так как в ней числитель равен нулю. Решение второго неравенства: $x\in (-\infty ;-3]\cup \{0\}\cup [2;7)$.

Пересечение. Из промежутка $[-3;4)$ во второе множество попадают: точка $x=-3$ (общий конец), точка $x=0$ и полуинтервал $[2;4)$.

Ответ: $\{-3;0\}\cup [2;4)$.