ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$. Знаменатели не должны обращаться в ноль: $t\ne 81$, $t\ne 9$.

$$\frac{13}{t-81}⩽\frac{1}{t-9}.$$

Умножать «крест-накрест» нельзя — знаки знаменателей неизвестны. Перенесём дробь из правой части влево и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{13}{t-81}-\frac{1}{t-9}⩽0\iff \frac{13(t-9)-(t-81)}{(t-81)(t-9)}⩽0.$$

Числитель: $13t-117-t+81=12t-36=12(t-3)$. Разделим на $12>0$:

$$\frac{t-3}{(t-9)(t-81)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=3$ закрашен, нули знаменателя $t=9$ и $t=81$ выколоты, справа знак плюс, знаки чередуются:

Получаем $t⩽3$ или $9<t<81$. С учётом $t>0$:

$$[\begin{array}{l}0<t⩽3,\\ 9<t<81.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Неравенство $3^x>0$ выполняется при всех $x$. Функция $y=3^x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому переходим к показателям с тем же знаком:

$$[\begin{array}{l}{3}^x⩽3^1,\\ 3^2<3^x<3^4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x⩽1,\\ 2<x<4.\end{array}$$

Ответ: $(-\infty ;1]\cup (2;4)$.