ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Основание логарифма положительно и не равно единице, аргументы положительны:

$$\{\begin{array}{l}x+1>0,\\ x+1\ne 1,\\ x^2-5x+7>0,\\ x>0.\end{array}$$

Первые два условия дают $x>-1$, $x\ne 0$. Для трёхчлена $x^2-5x+7$ дискриминант $D=25-28=-3<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому он положителен при всех $x$. Четвёртое условие $x>0$ поглощает первые два.

ОДЗ: $x>0$.

Определим, как ведёт себя основание. При $x>0$ имеем $x+1>1$, то есть основание больше единицы, и функция $y={\log }_{x+1}m$ возрастает. Поэтому на ОДЗ от неравенства логарифмов переходим к неравенству аргументов с тем же знаком:

$$x^2-5x+7⩽x\iff x^2-6x+7⩽0.$$

Найдём корни трёхчлена: $D=36-28=8$, $\sqrt{D}=2\sqrt{2}$,

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 2\sqrt{2}}{2}=3\pm \sqrt{2}.$$

Неравенство принимает вид

$$\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)\left(x-\left(3+\sqrt{2}\right)\right)⩽0.$$

Получаем $x\in \left[3-\sqrt{2};3+\sqrt{2}\right]$. Сверим с ОДЗ: $\sqrt{2}<3$, поэтому $3-\sqrt{2}>0$ и весь отрезок лежит в области $x>0$.

Ответ: $\left[3-\sqrt{2};3+\sqrt{2}\right]$.