ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Заметим, что $4^x={\left(2^2\right)}^x={\left(2^x\right)}^2$. Сделаем замену $t=2^x$, где $t>0$:

$$\frac{t}{t-8}+\frac{t+8}{t-4}+\frac{66}{t^2-12t+32}⩽0.$$

Разложим трёхчлен $t^2-12t+32$ на множители. По теореме, обратной теореме Виета, его корни — числа с суммой $12$ и произведением $32$, то есть $4$ и $8$. Значит, $t^2-12t+32=(t-4)(t-8)$, и знаменатели не должны обращаться в ноль: $t\ne 4$, $t\ne 8$.

Приведём дроби к общему знаменателю $(t-4)(t-8)$:

$$\frac{t(t-4)+(t+8)(t-8)+66}{(t-4)(t-8)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе (во втором слагаемом — разность квадратов):

$$t^2-4t+t^2-64+66=2t^2-4t+2=2\left(t^2-2t+1\right)=2(t-1{)}^2.$$

Числитель свернулся по формуле квадрата разности $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$. Разделим обе части на $2>0$:

$$\frac{(t-1{)}^2}{(t-4)(t-8)}⩽0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $t=1$ закрашен, нули знаменателя $t=4$ и $t=8$ выколоты. Множитель $(t-1{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $t=1$ знак не меняется:

Получаем совокупность $t=1$ или $4<t<8$. Обе части удовлетворяют условию $t>0$.

Сделаем обратную замену. Функция $y=2^x$ возрастает, так как $2>1$, поэтому от неравенства степеней переходим к неравенству показателей с тем же знаком:

$$[\begin{array}{l}{2}^x=2^0,\\ 2^2<2^x<2^3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0,\\ 2<x<3.\end{array}$$

Ответ: $\{0\}\cup (2;3)$.