ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов $9x$, $3x$, $\frac{x}{9}$ положительны при $x>0$. Кроме того, знаменатели не равны нулю:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ 1-{\log }_3^2(3x)\ne 0,\\ {\log }_3\frac{x}{9}\ne 0.\end{array}$$

Второе условие означает ${\log }_3(3x)\ne \pm 1$, то есть $3x\ne 3$ и $3x\ne \frac{1}{3}$: $x\ne 1$, $x\ne \frac{1}{9}$. Третье условие: $\frac{x}{9}\ne 1$, то есть $x\ne 9$.

ОДЗ: $x>0$, $x\ne \frac{1}{9}$, $x\ne 1$, $x\ne 9$.

Распишем логарифмы по формулам логарифма произведения и частного:

$${\log }_3(9x)={\log }_{3}9+{\log }_{3}x=2+{\log }_{3}x,{\log }_3(3x)=1+{\log }_{3}x,{\log }_3\frac{x}{9}={\log }_{3}x-2.$$

Сделаем замену $t={\log }_{3}x$:

$$\frac{t+2}{1-(1+t{)}^2}-\frac{1}{t-2}⩾0.$$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$1-(1+t{)}^2=(1-(1+t)\left)\right(1+(1+t))=-t(t+2).$$

Тогда неравенство запишется так:

$$-\frac{t+2}{t(t+2)}-\frac{1}{t-2}⩾0.$$

Умножим обе части на $-1$, знак неравенства сменится на противоположный:

$$\frac{t+2}{t(t+2)}+\frac{1}{t-2}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю $t(t+2)(t-2)$:

$$\frac{(t+2)(t-2)+t(t+2)}{t(t+2)(t-2)}⩽0.$$

Числитель: $t^2-4+t^2+2t=2t^2+2t-4=2\left(t^2+t-2\right)=2(t+2)(t-1)$ (корни $t^2+t-2$ — числа $-2$ и $1$). Разделим на $2>0$:

$$\frac{(t-1)(t+2)}{t(t-2)(t+2)}⩽0.$$

Множитель $t+2$ сокращать без оговорки нельзя: значение $t=-2$ соответствует $x=\frac{1}{9}$, где исходное выражение не определено. Поэтому оставим $t=-2$ выколотой точкой. Множитель $t+2$ стоит и в числителе, и в знаменателе, то есть суммарно в чётной степени, — при переходе через $t=-2$ знак не меняется.

Нуль числителя $t=1$ закрашен (неравенство нестрогое), точки $t=-2$, $t=0$, $t=2$ выколоты:

Получаем совокупность: $t<0$, $t\ne -2$ или $1⩽t<2$.

Сделаем обратную замену. Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому знаки неравенств сохраняются. Запишем $0={\log }_{3}1$, $-2={\log }_3\frac{1}{9}$, $1={\log }_{3}3$, $2={\log }_{3}9$:

$$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_{3}1,\\ {\log }_{3}x\ne {\log }_3\frac{1}{9},\end{array}\\ {\log }_{3}3⩽{\log }_{3}x<{\log }_{3}9\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}0<x<1,\\ x\ne \frac{1}{9},\end{array}\\ 3⩽x<9.\end{array}$$

Условие $x>0$ здесь учтено, точки $\frac{1}{9}$, $1$ и $9$ выколоты — найденное множество полностью согласовано с ОДЗ.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{9}\right)\cup \left(\frac{1}{9};1\right)\cup [3;9)$.