ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}-2-x>0,\\ x^2+4x+4>0.\end{array}$$

Первое условие даёт $x<-2$. Во втором $x^2+4x+4=(x+2{)}^2>0$ при $x\ne -2$ — это уже следует из первого. ОДЗ: $x<-2$.

Приведём логарифмы к основанию $5$. Так как $625=5^4$, по формуле ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{625}(-2-x)=\frac{1}{4}{\log }_5(-2-x).$$

В правой части ${\log }_5(x+2{)}^2=2{\log }_5|x+2|$. На ОДЗ $x+2<0$, поэтому $|x+2|=-(x+2)=-2-x$, и

$${\log }_5\left(x^2+4x+4\right)=2{\log }_5(-2-x).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2}{4}{\log }_5(-2-x)⩾2{\log }_5(-2-x).$$

Умножим обе части на $4>0$, перенесём всё влево и вынесем общий множитель:

$$\left(x^2-8\right){\log }_5(-2-x)⩾0.$$

Применим метод рационализации. При основании $5>1$ знак ${\log }_{5}A$ совпадает со знаком $A-1$. Здесь $A-1=(-2-x)-1=-x-3=-(x+3)$. Значит, на ОДЗ неравенство равносильно

$$-\left(x^2-8\right)(x+3)⩾0\iff \left(x^2-8\right)(x+3)⩽0.$$

По формуле разности квадратов $x^2-8=\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)$:

$$(x+3)\left(x+2\sqrt{2}\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)⩽0.$$

Расположим нули: $2\sqrt{2}=\sqrt{8}<\sqrt{9}=3$, поэтому $-3<-2\sqrt{2}<2\sqrt{2}$. Неравенство нестрогое, точки закрашены, справа знак плюс:

Получаем $x\in (-\infty ;-3]\cup \left[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right]$.

Пересечём с ОДЗ $x<-2$. Луч $(-\infty ;-3]$ остаётся целиком, а от отрезка $\left[-2\sqrt{2};2\sqrt{2}\right]$ остаётся $\left[-2\sqrt{2};-2\right)$, так как $-2\sqrt{2}\approx -2,83<-2$.

Ответ: $(-\infty ;-3]\cup \left[-2\sqrt{2};-2\right)$.