ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — показательные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничения: подкоренное выражение неотрицательно, $x+5⩾0$, то есть $x⩾-5$; знаменатель не равен нулю.

Свяжем две степени в знаменателе. Так как $x^2-6=2\left(0,5x^2-4,5\right)+3$ (действительно, $x^2-9+3=x^2-6$), по свойствам степени

$$2^{x^2-6}=2^3\cdot 2^{2\left(0,5x^2-4,5\right)}=8\cdot {\left(2^{0,5x^2-4,5}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=2^{0,5x^2-4,5}$, где $t>0$. Знаменатель принимает вид $8t^2-9t+1$. Найдём его корни: $D=81-32=49$, $t=\frac{9\pm 7}{16}$, то есть $t=1$ и $t=\frac{1}{8}$. Значит,

$$8t^2-9t+1=8(t-1)\left(t-\frac{1}{8}\right)=(t-1)(8t-1).$$

Числитель $\sqrt{x+5}$ неотрицателен. Дробь неотрицательна в двух случаях: числитель равен нулю (а знаменатель при этом не ноль) или числитель положителен и знаменатель положителен.

Первый случай: $x=-5$. Тогда $t=2^{12,5-4,5}=2^8=256$, и знаменатель равен $(256-1)(8\cdot 256-1)=255\cdot 2047\ne 0$. Дробь равна нулю, неравенство выполнено, значит, $x=-5$ — решение.

Второй случай: $x>-5$. Числитель положителен, поэтому нужно, чтобы знаменатель был положителен (равняться нулю он не может):

$$(t-1)(8t-1)>0.$$

Получаем $t<\frac{1}{8}$ или $t>1$; условие $t>0$ выполняется само.

Сделаем обратную замену, записав $\frac{1}{8}=2^{-3}$ и $1=2^0$. Основание $2>1$, показательная функция возрастает, поэтому переходим к неравенству показателей с тем же знаком:

$$[\begin{array}{l}{2}^{0,5x^2-4,5}<2^{-3},\\ 2^{0,5x^2-4,5}>2^0\end{array}\iff [\begin{array}{l}0,5x^2-4,5<-3,\\ 0,5x^2-4,5>0\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2<3,\\ x^2>9.\end{array}$$

Первое неравенство: $\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)<0$.

Получаем $-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$.

Второе неравенство: $(x-3)(x+3)>0$.

Получаем $x<-3$ или $x>3$.

Объединим найденные множества и учтём условие второго случая $x>-5$: получаем $(-5;-3)\cup \left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\cup (3;+\infty )$. Добавим решение $x=-5$ из первого случая:

Ответ: $[-5;-3)\cup \left(-\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\cup (3;+\infty )$.