ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}(x+5{)}^4>0,\\ (x+4{)}^2>0,\\ \frac{(x+4{)}^3}{x+5}>0.\end{array}$$

Чётные степени положительны везде, кроме нуля основания, поэтому первые два условия дают $x\ne -5$ и $x\ne -4$. В третьем знак $(x+4{)}^3$ совпадает со знаком $x+4$, так что оно равносильно $\frac{x+4}{x+5}>0$. Нули $-5$ и $-4$ выколоты:

ОДЗ: $x\in (-\infty ;-5)\cup (-4;+\infty )$.

Приведём логарифмы к основанию $2$. Воспользуемся формулами ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и ${\log }_a{b}^{2n}=2n{\log }_a|b|$. Модуль здесь обязателен: на ОДЗ выражения $x+5$ и $x+4$ могут быть отрицательными, а их чётные степени при этом положительны.

$${\log }_4(x+5{)}^4=\frac{1}{2}{\log }_2(x+5{)}^4=\frac{1}{2}\cdot 4{\log }_2|x+5|=2{\log }_2|x+5|,$$

$${\log }_{16}(x+4{)}^2=\frac{1}{4}{\log }_2(x+4{)}^2=\frac{1}{4}\cdot 2{\log }_2|x+4|=\frac{1}{2}{\log }_2|x+4|.$$

Их произведение равно ${\log }_2|x+5|\cdot {\log }_2|x+4|$.

Третье слагаемое. На ОДЗ дробь $\frac{(x+4{)}^3}{x+5}$ положительна, значит, она равна своему модулю $\frac{|x+4{|}^3}{|x+5|}$. По свойствам логарифма частного и степени:

$${\log }_2\frac{(x+4{)}^3}{x+5}=3{\log }_2|x+4|-{\log }_2|x+5|.$$

На ОДЗ неравенство равносильно следующему:

$${\log }_2|x+5|\cdot {\log }_2|x+4|+3{\log }_2|x+4|-{\log }_2|x+5|-3>0.$$

Обозначим $u={\log }_2|x+5|$, $v={\log }_2|x+4|$. Тогда неравенство имеет вид $uv+3v-u-3>0$. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвёртым:

$$v(u+3)-(u+3)>0\iff (u+3)(v-1)>0.$$

Вернёмся к $x$ и запишем каждый множитель одним логарифмом, учитывая $3={\log }_{2}8$ и $1={\log }_{2}2$:

$${\log }_2|x+5|+3={\log }_2\left(8|x+5|\right),{\log }_2|x+4|-1={\log }_2\frac{|x+4|}{2}.$$

$${\log }_2\left(8|x+5|\right)\cdot {\log }_2\frac{|x+4|}{2}>0.$$

Применим метод рационализации. При основании $2>1$ знак ${\log }_{2}A$ совпадает со знаком $A-1$ (при $A>0$). Заменим каждый логарифм на такую разность:

$$\left(8|x+5|-1\right)\left(\frac{|x+4|}{2}-1\right)>0.$$

Умножим второй множитель на $2>0$:

$$\left(8|x+5|-1\right)\left(|x+4|-2\right)>0.$$

Ещё раз рационализуем — теперь модули. Знак разности $|A|-|B|$ совпадает со знаком $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, так как $A^2-B^2=\left(|A|-|B|\right)\left(|A|+|B|\right)$, а сумма модулей здесь положительна. Запишем $8|x+5|-1=|8x+40|-|1|$ и $|x+4|-2=|x+4|-|2|$:

$$8|x+5|-1\to (8x+40{)}^2-1=(8x+39)(8x+41),$$

$$|x+4|-2\to (x+4{)}^2-4=(x+2)(x+6).$$

Получаем неравенство

$$(8x+39)(8x+41)(x+2)(x+6)>0.$$

Произведение положительно, когда оба исходных множителя одного знака, — метод интервалов сразу разбирает оба случая. Нули: $x=-6$, $x=-\frac{41}{8}=-5,125$, $x=-\frac{39}{8}=-4,875$, $x=-2$. Неравенство строгое, все точки выколоты. Все множители в первой степени, знаки чередуются, справа плюс:

Получаем $x\in (-\infty ;-6)\cup (-5,125;-4,875)\cup (-2;+\infty )$.

Пересечём с ОДЗ $(-\infty ;-5)\cup (-4;+\infty )$. Луч $(-\infty ;-6)$ целиком лежит в ОДЗ. От интервала $(-5,125;-4,875)$ остаётся только часть $(-5,125;-5)$: точки от $-5$ до $-4$ в ОДЗ не входят. Луч $(-2;+\infty )$ лежит в ОДЗ.

Ответ: $(-\infty ;-6)\cup (-5,125;-5)\cup (-2;+\infty )$.