ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ — все аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}(x-2)\left(x^2+9\right)>0,\\ x^2+x-6>0,\\ x>0.\end{array}$$

Так как $x^2+9>0$ при любом $x$, первое условие равносильно $x-2>0$, то есть $x>2$. Во втором разложим трёхчлен: корни $x^2+x-6$ — числа $2$ и $-3$, поэтому $(x-2)(x+3)>0$, откуда $x<-3$ или $x>2$. Третье условие: $x>0$.

Общая часть трёх условий: $x>2$.

Представим $2={\log }_{3}9$ и перенесём ${\log }_{3}x$ в левую часть:

$${\log }_3\left((x-2)\left(x^2+9\right)\right)+{\log }_{3}x⩽{\log }_{3}9+{\log }_3\left(x^2+x-6\right).$$

На ОДЗ все аргументы положительны, поэтому сумму логарифмов можно заменить логарифмом произведения по формуле ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$:

$${\log }_3\left(x(x-2)\left(x^2+9\right)\right)⩽{\log }_3\left(9(x-2)(x+3)\right).$$

Основание $3>1$, логарифмическая функция возрастает, поэтому переходим к неравенству аргументов с тем же знаком:

$$x(x-2)\left(x^2+9\right)⩽9(x-2)(x+3).$$

Перенесём всё влево и вынесем общий множитель $x-2$:

$$(x-2)\left(x\left(x^2+9\right)-9(x+3)\right)⩽0,$$

$$(x-2)\left(x^3+9x-9x-27\right)⩽0,$$

$$(x-2)\left(x^3-27\right)⩽0.$$

Разложим разность кубов по формуле $a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$:

$$(x-2)(x-3)\left(x^2+3x+9\right)⩽0.$$

Множитель $x^2+3x+9=(x+1,5{)}^2+6,75$ положителен при любом $x$, поэтому на него можно разделить, не меняя знака:

$$(x-2)(x-3)⩽0.$$

Получаем $x\in [2;3]$. Пересечём с ОДЗ $x>2$: точка $x=2$ выпадает.

Ответ: $(2;3]$.