ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ: знаменатели не равны нулю.

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-7x\ne 0,\\ x+3\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x(x-7)\ne 0,\\ x\ne -3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 0,\\ x\ne 7,\\ x\ne -3.\end{array}$$

Разложим числитель первой дроби на множители. Вынесем минус: $3x+28-x^2=-\left(x^2-3x-28\right)$. Корни трёхчлена $x^2-3x-28$ по теореме, обратной теореме Виета, — числа с суммой $3$ и произведением $-28$, то есть $7$ и $-4$. Значит,

$$3x+28-x^2=-(x-7)(x+4).$$

Тогда при $x\ne 7$ первую дробь можно сократить на $x-7$:

$$\frac{-(x-7)(x+4)}{x(x-7)}=-\frac{x+4}{x}.$$

Ограничение $x\ne 7$ при этом сохраняем — оно уже записано в ОДЗ.

Неравенство принимает вид

$$-\frac{x+4}{x}⩽2+\frac{2}{x+3}.$$

Умножать на знаменатели нельзя — их знак неизвестен. Поэтому перенесём всё в правую часть:

$$2+\frac{2}{x+3}+\frac{x+4}{x}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $x(x+3)$:

$$\frac{2x(x+3)+2x+(x+4)(x+3)}{x(x+3)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе: $2x(x+3)=2x^2+6x$, $(x+4)(x+3)=x^2+7x+12$. Сумма:

$$2x^2+6x+2x+x^2+7x+12=3x^2+15x+12=3\left(x^2+5x+4\right).$$

Корни $x^2+5x+4$ — числа с суммой $-5$ и произведением $4$, то есть $-1$ и $-4$. Получаем

$$\frac{3(x+1)(x+4)}{x(x+3)}⩾0.$$

Разделим на положительное число $3$:

$$\frac{(x+1)(x+4)}{x(x+3)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=-4$ и $x=-1$ закрашены, так как неравенство нестрогое; нули знаменателя $x=-3$ и $x=0$ выколоты. Все множители входят в первой степени, поэтому знаки чередуются, начиная с плюса справа:

Получаем $x\in (-\infty ;-4]\cup (-3;-1]\cup (0;+\infty )$.

Вспомним об ограничении $x\ne 7$: эта точка попала в промежуток $(0;+\infty )$, её нужно выколоть.

Ответ: $(-\infty ;-4]\cup (-3;-1]\cup (0;7)\cup (7;+\infty )$.