ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными, знаменатель — отличным от нуля:

$$\{\begin{array}{l}{x}^2>0,\\ 2x^2-6x+4,5>0,\\ {\log }_{15}^2\left(2x^2-6x+4,5\right)+1\ne 0.\end{array}$$

Первое условие означает $x\ne 0$.

Во втором выделим полный квадрат: $2x^2-6x+4,5=2\left(x^2-3x+2,25\right)=2(x-1,5{)}^2$. Это выражение положительно при всех $x$, кроме $x=1,5$, где оно равно нулю (дискриминант $36-4\cdot 2\cdot 4,5=0$).

Третье условие выполняется всегда: квадрат логарифма неотрицателен, поэтому знаменатель не меньше $1$.

ОДЗ: $x\ne 0$, $x\ne 1,5$.

Знаменатель на ОДЗ положителен, поэтому дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда неотрицателен числитель. Умножив обе части на положительный знаменатель, получаем равносильное неравенство

$${\log }_3{x}^2-{\log }_5{x}^2⩾0.$$

Перейдём во втором логарифме к основанию $3$ по формуле ${\log }_{b}c=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}$:

$${\log }_5{x}^2=\frac{{\log }_3{x}^2}{{\log }_{3}5}.$$

Вынесем ${\log }_3{x}^2$ за скобки:

$${\log }_3{x}^2-\frac{{\log }_3{x}^2}{{\log }_{3}5}={\log }_3{x}^2\cdot \left(1-\frac{1}{{\log }_{3}5}\right)={\log }_3{x}^2\cdot \frac{{\log }_{3}5-1}{{\log }_{3}5}.$$

Так как $5>3$, имеем ${\log }_{3}5>{\log }_{3}3=1$. Значит, и ${\log }_{3}5-1>0$, и ${\log }_{3}5>0$, то есть множитель $\frac{{\log }_{3}5-1}{{\log }_{3}5}$ — положительное число. Разделим на него обе части, знак сохранится:

$${\log }_3{x}^2⩾0\iff {\log }_3{x}^2⩾{\log }_{3}1.$$

Основание $3>1$, логарифм возрастает, поэтому переходим к неравенству аргументов с тем же знаком (условие $x^2>0$ уже учтено в ОДЗ):

$$x^2⩾1\iff (x-1)(x+1)⩾0.$$

Получаем $x\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$. В граничных точках $x=\pm 1$ оба логарифма равны нулю, числитель обращается в ноль, и неравенство выполняется как равенство.

Учтём ОДЗ. Точка $x=0$ в найденное множество и так не входит, а точку $x=1,5$ из промежутка $[1;+\infty )$ нужно выколоть:

Ответ: $(-\infty ;-1]\cup [1;1,5)\cup (1,5;+\infty )$.