ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифмические неравенства

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$25-x^2>0\iff x^2-25<0\iff (x-5)(x+5)<0.$$

Нули $x=-5$ и $x=5$. Неравенство строгое, поэтому точки выколоты. Решим методом интервалов:

ОДЗ: $x\in (-5;5)$.

Сделаем замену $t={\log }_2(25-x^2)$. Тогда ${\log }_2^2(25-x^2)=t^2$, и неравенство становится квадратным:

$$t^2-7t+12⩾0.$$

Найдём корни трёхчлена $t^2-7t+12$ по теореме, обратной теореме Виета: нужны два числа с суммой $7$ и произведением $12$. Это $3$ и $4$, так как $3+4=7$ и $3\cdot 4=12$. Значит,

$$(t-3)(t-4)⩾0.$$

Неравенство нестрогое, поэтому нули $t=3$ и $t=4$ закрашены:

Получаем совокупность $t⩽3$ или $t⩾4$.

Сделаем обратную замену. Запишем числа $3$ и $4$ как логарифмы по основанию $2$: $3={\log }_{2}8$, $4={\log }_{2}16$.

$$[\begin{array}{l}{\log }_2(25-x^2)⩽{\log }_{2}8,\\ {\log }_2(25-x^2)⩾{\log }_{2}16.\end{array}$$

Основание $2>1$, функция $y={\log }_{2}m$ возрастает, поэтому от неравенства логарифмов переходим к неравенству аргументов с тем же знаком. При этом аргумент обязан оставаться положительным — в первой строке это условие нужно записать явно, во второй оно выполняется само ($25-x^2⩾16>0$):

$$[\begin{array}{l}0<25-x^2⩽8,\\ 25-x^2⩾16.\end{array}$$

Решим первое неравенство. Из $25-x^2⩽8$ получаем $-x^2⩽-17$; умножим на $-1$ и сменим знак: $x^2⩾17$. Так как $17={\left(\sqrt{17}\right)}^2$, по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$\left(x-\sqrt{17}\right)\left(x+\sqrt{17}\right)⩾0.$$

Отсюда $x\in \left(-\infty ;-\sqrt{17}\right]\cup \left[\sqrt{17};+\infty \right)$. Условие $25-x^2>0$ даёт $-5<x<5$. Так как $\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$, пересечение равно $\left(-5;-\sqrt{17}\right]\cup \left[\sqrt{17};5\right)$.

Решим второе неравенство. Из $25-x^2⩾16$ получаем $x^2⩽9$, то есть по формуле разности квадратов

$$(x-3)(x+3)⩽0.$$

Отсюда $x\in [-3;3]$. Этот отрезок целиком лежит в ОДЗ.

Объединим решения совокупности. Так как $3=\sqrt{9}<\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$, точки на прямой идут в порядке $-5<-\sqrt{17}<-3<3<\sqrt{17}<5$, и промежутки не пересекаются.

Ответ: $\left(-5;-\sqrt{17}\right]\cup [-3;3]\cup \left[\sqrt{17};5\right)$.