ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничения. В показателях стоит $\sqrt{x}$, поэтому $x⩾0$. При таких $x$ все степени определены.

Разложим каждую степень по свойству $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$, чтобы во всех слагаемых появились одни и те же множители $2^{-2\sqrt{x}}$ и $10^{-\sqrt{x}}$:

$$2^{9-2\sqrt{x}}=2^9\cdot 2^{-2\sqrt{x}}=512\cdot 2^{-2\sqrt{x}},$$

$$10^{2-\sqrt{x}}=10^2\cdot 10^{-\sqrt{x}}=100\cdot 10^{-\sqrt{x}},10^{-2-\sqrt{x}}=10^{-2}\cdot 10^{-\sqrt{x}}=\frac{1}{100}\cdot 10^{-\sqrt{x}}.$$

Обозначим $a=2^{-2\sqrt{x}}$ и $b=10^{-\sqrt{x}}$. Обе величины положительны, так как показательная функция принимает только положительные значения. Учитывая, что $32\cdot 100=3200$ и $\frac{625}{100}=6,25$, получаем

$$a+3200b>512a+6,25b.$$

Соберём слагаемые с $a$ в левой части, а с $b$ — в правой:

$$a-512a>6,25b-3200b,$$

$$-511a>(6,25-3200)b.$$

Заметим, что $3200=512\cdot 6,25$. Поэтому скобку справа можно записать так:

$$6,25-3200=6,25-512\cdot 6,25=6,25\cdot (1-512)=-511\cdot 6,25.$$

Неравенство принимает вид

$$-511a>-511\cdot 6,25b.$$

Разделим обе части на отрицательное число $-511$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$$a<6,25b.$$

Теперь разделим обе части на $b>0$ — знак сохраняется:

$$\frac{a}{b}<6,25=\frac{25}{4}.$$

Сделаем обратную замену. Так как $2^{-2\sqrt{x}}={\left(2^2\right)}^{-\sqrt{x}}=4^{-\sqrt{x}}$, частное степеней с одинаковым показателем равно степени частного:

$$\frac{a}{b}=\frac{4^{-\sqrt{x}}}{10^{-\sqrt{x}}}={\left(\frac{4}{10}\right)}^{-\sqrt{x}}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{-\sqrt{x}}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{\sqrt{x}}.$$

Правую часть тоже запишем степенью с основанием $\frac{5}{2}$: $\frac{25}{4}={\left(\frac{5}{2}\right)}^2$. Получаем

$${\left(\frac{5}{2}\right)}^{\sqrt{x}}<{\left(\frac{5}{2}\right)}^2.$$

Основание $\frac{5}{2}>1$, значит, показательная функция $y={\left(\frac{5}{2}\right)}^t$ возрастает, и от неравенства степеней можно перейти к неравенству показателей с тем же знаком:

$$\sqrt{x}<2.$$

Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат — равносильный переход. Вместе с ограничением $x⩾0$ получаем $0⩽x<4$.

Проверим граничную точку $x=4$: при $\sqrt{x}=2$ левая часть равна $2^{-4}+32\cdot 1=32,0625$, правая — $2^5+625\cdot 10^{-4}=32,0625$. Получилось равенство, поэтому точка $x=4$ в ответ не входит, как и должно быть при строгом знаке.

Ответ: $[0;4)$.