ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Ограничение логарифмов: $x>0$. Ограничения на знаменатели учтём после замены.

Преобразуем логарифмы по свойствам логарифма частного и степени (при $x>0$):

$${\log }_3\frac{x}{27}={\log }_{3}x-{\log }_{3}27={\log }_{3}x-3,{\log }_3{x}^3=3{\log }_{3}x.$$

Сделаем замену $y={\log }_{3}x$. Тогда ${\log }_3^{2}x-{\log }_3{x}^3=y^2-3y=y(y-3)$, и при $x>0$ неравенство равносильно

$$\frac{y}{y-3}⩾\frac{4}{y}+\frac{8}{y(y-3)}.$$

Знаменатели не равны нулю: $y\ne 0$, $y\ne 3$.

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $y(y-3)$:

$$\frac{y\cdot y-4(y-3)-8}{y(y-3)}⩾0\iff \frac{y^2-4y+4}{y(y-3)}⩾0.$$

По формуле квадрата разности $y^2-4y+4=(y-2{)}^2$:

$$\frac{(y-2{)}^2}{y(y-3)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $y=2$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $y=0$ и $y=3$ выкалываем. При $y>3$ все множители положительны. При переходе через $3$ и $0$ знак меняется, а множитель $(y-2{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $2$ знак не меняется.

Дробь положительна при $y<0$ и при $y>3$ и равна нулю при $y=2$:

$$[\begin{array}{l}y<0,\\ y=2,\\ y>3.\end{array}$$

Сделаем обратную замену. Запишем числа как логарифмы по основанию $3$: $0={\log }_{3}1$, $2={\log }_{3}9$, $3={\log }_{3}27$. Функция $y={\log }_{3}x$ возрастает, так как $3>1$, поэтому знаки неравенств сохраняются, а условие $x>0$ учитываем:

$$[\begin{array}{l}{\log }_{3}x<{\log }_{3}1,\\ {\log }_{3}x={\log }_{3}9,\\ {\log }_{3}x>{\log }_{3}27\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<1,\\ x=9,\\ x>27.\end{array}$$

Ответ: $(0;1)\cup \{9\}\cup (27;+\infty )$.