ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Разложим на множители знаменатель первой дроби. Корни трёхчлена $x^2-15x+44$ найдём по теореме, обратной теореме Виета: их сумма равна $15$, произведение равно $44$. Подходят числа $4$ и $11$, поэтому

$$x^2-15x+44=(x-4)(x-11).$$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 4$ и $x\ne 11$.

Перенесём дробь из левой части в правую:

$$x-4⩽\frac{63x-700}{(x-4)(x-11)}+\frac{1}{x-11}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю $(x-4)(x-11)$, домножив вторую дробь на $x-4$:

$$x-4⩽\frac{63x-700+x-4}{(x-4)(x-11)}\iff x-4⩽\frac{64x-704}{(x-4)(x-11)}.$$

Вынесем в числителе множитель $64$: $64x-704=64(x-11)$. На ОДЗ $x-11\ne 0$, поэтому дробь можно сократить на $x-11$ — но условие $x\ne 11$ нужно помнить и учесть в ответе:

$$x-4⩽\frac{64}{x-4},x\ne 11.$$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю $x-4$:

$$\frac{(x-4{)}^2-64}{x-4}⩽0.$$

Числитель разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ при $a=x-4$, $b=8$:

$$(x-4{)}^2-8^2=(x-4-8)(x-4+8)=(x-12)(x+4).$$

$$\frac{(x-12)(x+4)}{x-4}⩽0,x\ne 11.$$

Решим методом интервалов. Нули числителя $x=-4$ и $x=12$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нуль знаменателя $x=4$ выкалываем. Точку $x=11$ тоже выкалываем по ОДЗ; она не является нулём ни одного множителя, поэтому знак при переходе через неё не меняется. При $x>12$ все множители положительны, дробь положительна.

Ответ: $(-\infty ;-4]\cup (4;11)\cup (11;12]$.