ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — логарифм с переменным основанием

Разбор — 2 балла

Найдём ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны:

$$\{\begin{array}{l}4-x>0,\\ x^2-8x+16>0.\end{array}$$

Так как $x^2-8x+16=(x-4{)}^2$, второе условие означает $x\ne 4$, а оно следует из первого. ОДЗ: $x<4$.

Преобразуем правую часть. Заметим, что $(x-4{)}^2=(4-x{)}^2$, а на ОДЗ $4-x>0$, поэтому по свойству ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$ (при $b>0$):

$${\log }_3\left(x^2-8x+16\right)={\log }_3(4-x{)}^2=2{\log }_3(4-x).$$

Преобразуем левую часть. Так как $243=3^5$, по свойству ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$:

$${\log }_{243}(4-x)={\log }_{3^5}(4-x)=\frac{1}{5}{\log }_3(4-x).$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{x^2}{5}{\log }_3(4-x)⩽2{\log }_3(4-x).$$

Умножим обе части на $5>0$, перенесём всё влево и вынесем общий множитель за скобки:

$$x^2{\log }_3(4-x)-10{\log }_3(4-x)⩽0\iff \left(x^2-10\right){\log }_3(4-x)⩽0.$$

Множитель ${\log }_3(4-x)={\log }_3(4-x)-{\log }_{3}1$. Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как $3>1$, поэтому на ОДЗ эта разность имеет тот же знак, что и разность аргументов $(4-x)-1=3-x$. Заменим множитель выражением того же знака (метод рационализации) — получим равносильное на ОДЗ неравенство:

$$\left(x^2-10\right)(3-x)⩽0.$$

Умножим обе части на $-1$, сменив знак неравенства, и разложим $x^2-10$ по формуле разности квадратов:

$$\left(x+\sqrt{10}\right)(x-3)\left(x-\sqrt{10}\right)⩾0.$$

Расположим точки на прямой. Так как $\sqrt{9}<\sqrt{10}<\sqrt{16}$, имеем $3<\sqrt{10}<4$, поэтому $-\sqrt{10}<3<\sqrt{10}$.

Решим методом интервалов. Все три точки закрашиваем: неравенство нестрогое. При $x>\sqrt{10}$ все множители положительны, при переходе через каждую точку знак меняется.

Получаем $x\in \left[-\sqrt{10};3\right]\cup \left[\sqrt{10};+\infty \right)$.

Пересечём с ОДЗ $x<4$. Так как $\sqrt{10}<4$, от второго промежутка остаётся $\left[\sqrt{10};4\right)$, а первый входит в ОДЗ целиком.

Ответ: $\left[-\sqrt{10};3\right]\cup \left[\sqrt{10};4\right)$.