ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

Ограничение: подкоренное выражение неотрицательно, $x⩾0$.

Обозначим $a=3^{2\sqrt{x}}$, $b=12^{\sqrt{x}}$; обе величины положительны. По свойству степени $p^{m-n}=\frac{p^m}{p^n}$:

$$3^{2\sqrt{x}-10}=\frac{a}{3^{10}},12^{\sqrt{x}-4}=\frac{b}{12^4},12^{\sqrt{x}-6}=\frac{b}{12^6}.$$

Упростим коэффициенты. Так как $6561=3^8$, $12^4=3^4\cdot 4^4$, $16=4^2$, $12^6=3^6\cdot 4^6$:

$$\frac{6561}{12^4}=\frac{3^8}{3^4\cdot 4^4}=\frac{3^4}{4^4},\frac{16}{12^6}=\frac{4^2}{3^6\cdot 4^6}=\frac{1}{3^6\cdot 4^4}.$$

Неравенство принимает вид

$$\frac{a}{3^{10}}+\frac{3^4}{4^4}b<a+\frac{1}{3^6\cdot 4^4}b.$$

Соберём слагаемые с $a$ в левой части, а с $b$ — в правой:

$$\frac{a}{3^{10}}-a<\frac{1}{3^6\cdot 4^4}b-\frac{3^4}{4^4}b.$$

Вынесем общие множители. Заметим, что $\frac{1}{3^6\cdot 4^4}=\frac{3^4}{4^4}\cdot \frac{1}{3^{10}}$, поэтому в правой части выносится $\frac{3^4}{4^4}b$:

$$\left(\frac{1}{3^{10}}-1\right)a<\left(\frac{1}{3^{10}}-1\right)\cdot \frac{3^4}{4^4}b.$$

Число $\frac{1}{3^{10}}-1$ отрицательно, а $b>0$. Разделим обе части на отрицательное число $\left(\frac{1}{3^{10}}-1\right)b$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$$\frac{a}{b}>\frac{3^4}{4^4}={\left(\frac{3}{4}\right)}^4.$$

Вернёмся к переменной $x$. Так как $3^{2\sqrt{x}}={\left(3^2\right)}^{\sqrt{x}}=9^{\sqrt{x}}$,

$$\frac{a}{b}=\frac{9^{\sqrt{x}}}{12^{\sqrt{x}}}={\left(\frac{9}{12}\right)}^{\sqrt{x}}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{\sqrt{x}}.$$

Получаем

$${\left(\frac{3}{4}\right)}^{\sqrt{x}}>{\left(\frac{3}{4}\right)}^4.$$

Основание $\frac{3}{4}$ лежит между $0$ и $1$, поэтому показательная функция с этим основанием убывает, и при переходе к показателям знак неравенства меняется:

$$\sqrt{x}<4.$$

Обе части неотрицательны, поэтому при $x⩾0$ возведение в квадрат даёт равносильное неравенство $x<16$. С учётом ограничения $x⩾0$:

Ответ: $[0;16)$.