ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №16 — рациональные неравенства

Разбор — 2 балла

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $x\ne 10$ и $x\ne 1$.

Перенесём дробь из правой части в левую:

$$\frac{6-x}{x-10}-\frac{1}{1-x}⩽0.$$

Приведём дроби к общему знаменателю $(x-10)(1-x)$:

$$\frac{(6-x)(1-x)-(x-10)}{(x-10)(1-x)}⩽0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(6-x)(1-x)-(x-10)=6-6x-x+x^2-x+10=x^2-8x+16.$$

По формуле квадрата разности $x^2-8x+16=(x-4{)}^2$:

$$\frac{(x-4{)}^2}{(x-10)(1-x)}⩽0.$$

Запишем $1-x=-(x-1)$, умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$$\frac{(x-4{)}^2}{(x-10)(x-1)}⩾0.$$

Решим методом интервалов. Нуль числителя $x=4$ закрашиваем (неравенство нестрогое), нули знаменателя $x=1$ и $x=10$ выкалываем. При $x>10$ все множители положительны, дробь положительна. При переходе через $10$ и $1$ знак меняется, а множитель $(x-4{)}^2$ стоит в чётной степени, поэтому при переходе через $4$ знак не меняется.

Дробь положительна при $x<1$ и при $x>10$, а при $x=4$ она равна нулю — это значение тоже удовлетворяет нестрогому неравенству, его нельзя потерять.

Ответ: $(-\infty ;1)\cup \{4\}\cup (10;+\infty )$.