ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому

$$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x.$$

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому синус остаётся синусом, а при малых $x>0$ угол $x+\pi$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Значит, $-2\sin (x+\pi )=2\sin x$.

Подставим оба выражения в уравнение:

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x=\sqrt{2}+2\sin x.$$

Перенесём всё в левую часть и сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой паре появился множитель $\left(\sin x-1\right)$:

$$\left(2{\sin }^{2}x-2\sin x\right)+\left(\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\right)=0\iff 2\sin x\left(\sin x-1\right)+\sqrt{2}\left(\sin x-1\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $\left(\sin x-1\right)$:

$$\left(\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Ордината $1$ — только у верхней точки окружности, поэтому $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ордината $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}$). Поэтому $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит III, IV и I четверти.

На дугу попадают все три точки решения: точка $-\frac{3\pi }{4}$ из III четверти, точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти и верхняя точка — она совпадает с концом дуги.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{11\pi }{4}$: действительно, $-\frac{12\pi }{4}<-\frac{11\pi }{4}$, а соседние значения $-\frac{19\pi }{4}<-3\pi$ и $-\frac{3\pi }{4}>-\frac{3\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{17\pi }{4}<-3\pi$ и $-\frac{\pi }{4}>-\frac{3\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{2}-2\pi =-\frac{3\pi }{2}$ — правый конец отрезка: соседние значения $-\frac{7\pi }{2}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{2}>-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{11\pi }{4}$, $-\frac{9\pi }{4}$, $-\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{4}$; $-\frac{9\pi }{4}$; $-\frac{3\pi }{2}$.