ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем косинус суммы по формуле $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right).$$

Возведём в квадрат, раскроем скобку по формуле квадрата разности и применим основное тригонометрическое тождество ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$:

$${\cos }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\left({\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x\right)=\frac{1}{2}\left(1-2\sin x\cos x\right)=\frac{1}{2}-\sin x\cos x.$$

Подставим это в уравнение:

$${\sin }^{2}x+\frac{1}{2}-\sin x\cos x=\frac{1}{2}\iff {\sin }^{2}x-\sin x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(\sin x-\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\cos x.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — правая и левая точки окружности.

Второе уравнение — однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из него и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла одновременно в нуль не обращаются, ведь ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, $\cos x\ne 0$, и можно равносильно разделить обе части на $\cos x$:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности эта серия — точка $\frac{\pi }{4}$ в I четверти и диаметрально противоположная ей точка $\frac{5\pi }{4}$ в III четверти.

б) Отрезок $\left[\frac{13\pi }{2};\frac{15\pi }{2}\right]$ имеет длину $\pi <2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{13\pi }{2}=6\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $\frac{15\pi }{2}=8\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки — левая половина окружности: II и III четверти.

На дугу попадают левая точка серии $x=\pi k$ и точка $\frac{5\pi }{4}$ из III четверти. Правая точка и точка $\frac{\pi }{4}$ лежат на правой половине окружности, вне дуги.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадает только $7\pi$: соседние значения $6\pi <\frac{13\pi }{2}$ и $8\pi >\frac{15\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ на отрезок попадает только $6\pi +\frac{5\pi }{4}=\frac{29\pi }{4}$: действительно, $\frac{26\pi }{4}<\frac{29\pi }{4}<\frac{30\pi }{4}$, а соседние значения $\frac{25\pi }{4}<\frac{26\pi }{4}=\frac{13\pi }{2}$ и $\frac{33\pi }{4}>\frac{30\pi }{4}=\frac{15\pi }{2}$.

На отрезке лежат $7\pi$, $\frac{29\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $7\pi$; $\frac{29\pi }{4}$.