ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: знаменатель дроби не равен нулю,

$$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Упростим правую часть по формуле приведения. Угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус. При малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}+x$ лежит в IV четверти, где косинус положителен, — знак не меняется:

$$\cos \left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\sin x.$$

Уравнение принимает вид

$$\frac{1}{\cos x}=4\sin x.$$

На ОДЗ $\cos x\ne 0$, поэтому умножение обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$1=4\sin x\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$, значит, $4\sin x\cos x=2\sin 2x$. Получаем систему

$$\{\begin{array}{l}\sin 2x=\frac{1}{2},\\ \cos x\ne 0.\end{array}$$

Ограничение $\cos x\ne 0$ выполняется само. Если бы $\cos x=0$, то $\sin 2x=2\sin x\cos x=0\ne \frac{1}{2}$. Значит, все решения уравнения $\sin 2x=\frac{1}{2}$ входят в ОДЗ.

Ордината $\frac{1}{2}$ отвечает углам $\frac{\pi }{6}$ и $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$, поэтому

$$[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ 2x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{12}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

При делении на $2$ период $2\pi$ превращается в $\pi$, поэтому каждая серия даёт на окружности две диаметрально противоположные точки: первая — $\frac{\pi }{12}$ (I четверть) и $\frac{13\pi }{12}$ (III четверть), вторая — $\frac{5\pi }{12}$ (I четверть) и $\frac{17\pi }{12}$ (III четверть).

б) Отрезок $\left[-\frac{11\pi }{4};-\frac{7\pi }{4}\right]$ имеет длину $\pi <2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{11\pi }{4}=-4\pi +\frac{5\pi }{4}$ — середина III четверти, конец $-\frac{7\pi }{4}=-2\pi +\frac{\pi }{4}$ — середина I четверти. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит вторую половину III четверти, всю IV четверть и первую половину I четверти, то есть углы от $\frac{15\pi }{12}$ до $2\pi +\frac{3\pi }{12}$.

На дугу попадают точка $\frac{17\pi }{12}$ из III четверти, так как $\frac{15\pi }{12}<\frac{17\pi }{12}$, и точка $\frac{\pi }{12}$ из I четверти, так как $\frac{\pi }{12}<\frac{3\pi }{12}$. Точки $\frac{13\pi }{12}$ и $\frac{5\pi }{12}$ лежат вне дуги: $\frac{13\pi }{12}<\frac{15\pi }{12}$, а $\frac{5\pi }{12}>\frac{3\pi }{12}$.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка. Удобно записать концы со знаменателем $12$: $-\frac{11\pi }{4}=-\frac{33\pi }{12}$, $-\frac{7\pi }{4}=-\frac{21\pi }{12}$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{12}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{17\pi }{12}-4\pi =-\frac{31\pi }{12}$: соседние значения $-\frac{43\pi }{12}<-\frac{33\pi }{12}$ и $-\frac{19\pi }{12}>-\frac{21\pi }{12}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{12}-2\pi =-\frac{23\pi }{12}$: соседние значения $-\frac{35\pi }{12}<-\frac{33\pi }{12}$ и $-\frac{11\pi }{12}>-\frac{21\pi }{12}$.

На отрезке лежат $-\frac{31\pi }{12}$, $-\frac{23\pi }{12}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{12}+\pi k$; $\frac{5\pi }{12}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{31\pi }{12}$; $-\frac{23\pi }{12}$.