ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём $2\cos x$ в левую часть и вынесем $2\cos x$ из двух слагаемых, содержащих косинус:

$$2{\cos }^{3}x-2\cos x-{\sin }^{2}x=0\iff 2\cos x\left({\cos }^{2}x-1\right)-{\sin }^{2}x=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, поэтому ${\cos }^{2}x-1=-{\sin }^{2}x$:

$$-2\cos x{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x=0.$$

Вынесем общий множитель $-{\sin }^{2}x$ за скобки:

$$-{\sin }^{2}x\left(2\cos x+1\right)=0\iff {\sin }^{2}x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — правая и левая точки окружности.

Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: во II четверти (угол $\frac{2\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\frac{2\pi }{3}$). Поэтому из второго уравнения $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $-\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит IV, I и II четверти.

На дугу попадают правая точка, левая точка (конец дуги) и точка $\frac{2\pi }{3}$ из II четверти. Точка $-\frac{2\pi }{3}$ лежит в III четверти, вне дуги.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-2\pi$ (правая точка) и $-\pi$ (левая точка): соседние значения $-3\pi <-\frac{5\pi }{2}$ и $0>-\pi$.

Из серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{10\pi }{3}=-\frac{20\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{2\pi }{3}>-\pi$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{8\pi }{3}=-\frac{16\pi }{6}<-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{2\pi }{3}>-\pi$.

На отрезке лежат $-2\pi$, $-\frac{4\pi }{3}$, $-\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$; $-\frac{4\pi }{3}$; $-\pi$.