ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в I четверти, где синус положителен, — знак не меняется.

Чтобы в уравнении осталась одна функция, выразим ${\sin }^{2}x$ через косинус по основному тригонометрическому тождеству: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Получаем

$$2-2{\cos }^{2}x=3\sqrt{2}\cos x+4\iff 2{\cos }^{2}x+3\sqrt{2}\cos x+2=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+3\sqrt{2}t+2=0.$$

Найдём дискриминант: $D={\left(3\sqrt{2}\right)}^2-4\cdot 2\cdot 2=18-16=2$. Тогда

$$t=\frac{-3\sqrt{2}\pm \sqrt{2}}{4},t_1=\frac{-2\sqrt{2}}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2},t_2=\frac{-4\sqrt{2}}{4}=-\sqrt{2}.$$

Так как $\sqrt{2}>1$, значение $t_2=-\sqrt{2}<-1$ лежит вне отрезка $[-1;1]$ и не подходит: косинус таких значений не принимает. Остаётся

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Абсцисса $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: во II четверти (угол $\frac{3\pi }{4}$) и в III четверти (угол $-\frac{3\pi }{4}$). Поэтому

$$x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$, с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём целые $k$.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$:

$$\pi ⩽\frac{3\pi }{4}+2\pi k⩽\frac{5\pi }{2}\iff \frac{1}{4}⩽2k⩽\frac{7}{4}\iff \frac{1}{8}⩽k⩽\frac{7}{8}.$$

Оба конца лежат строго между $0$ и $1$, целых $k$ здесь нет — эта серия на отрезок не попадает.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$:

$$\pi ⩽-\frac{3\pi }{4}+2\pi k⩽\frac{5\pi }{2}\iff \frac{7}{4}⩽2k⩽\frac{13}{4}\iff \frac{7}{8}⩽k⩽\frac{13}{8}.$$

Подходит только $k=1$, корень $-\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{5\pi }{4}$.

На отрезке лежит единственный корень $\frac{5\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{4}$.