ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим первое слагаемое. Перепишем аргумент как $\frac{\pi }{2}-2x$ и применим формулу приведения: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-2x$ лежит в I четверти, где синус положителен, — знак не меняется:

$$\sin \left(-2x+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\cos 2x.$$

Косинус двойного угла выразим через синус: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.

Упростим второе слагаемое. Период синуса равен $2\pi$, поэтому слагаемое $4\pi$ (два полных оборота) можно отбросить. Синус — нечётная функция, $\sin (-x)=-\sin x$:

$$\sin (4\pi -x)=\sin (-x)=-\sin x.$$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$$1-2{\sin }^{2}x-(-\sin x)=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2-t-1=0.$$

Дискриминант $D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot (-1)=9$, корни

$$t=\frac{1\pm 3}{4},t_1=1,t_2=-\frac{1}{2}.$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$. Значит, $2t^2-t-1=(t-1)(2t+1)$, и уравнение равносильно совокупности

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Ордината $1$ — только у верхней точки окружности, поэтому $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ордината $-\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{5\pi }{6}$). Поэтому $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти.

На дугу попадают все три точки решения: верхняя точка (начало дуги), точка $-\frac{5\pi }{6}$ из III четверти и точка $-\frac{\pi }{6}$ из IV четверти.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{2}-4\pi =-\frac{7\pi }{2}$ — левый конец отрезка: соседние значения $-\frac{11\pi }{2}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{3\pi }{2}>-2\pi$.

Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}$: действительно, $-\frac{21\pi }{6}<-\frac{17\pi }{6}<-\frac{12\pi }{6}$, а соседние значения $-\frac{29\pi }{6}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{6}>-2\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{6}>-2\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{17\pi }{6}$, $-\frac{13\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{17\pi }{6}$; $-\frac{13\pi }{6}$.