ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x.$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}.$$

Слагаемое $\sin x$ есть в обеих частях, вычтем его. Затем разделим обе части на $\sqrt{3}\ne 0$:

$$\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sqrt{3}\iff \cos x-\cos 2x=1.$$

В уравнении остался $\cos x$, поэтому косинус двойного угла запишем тоже через косинус: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$.

$$\cos x-\left(2{\cos }^{2}x-1\right)=1\iff \cos x-2{\cos }^{2}x=0\iff \cos x\left(1-2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Абсцисса $\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в I четверти (угол $\frac{\pi }{3}$) и в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{3}$). Поэтому из второго уравнения $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-2\pi$ — правая точка, конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти.

На дугу попадают верхняя точка, нижняя точка (конец дуги) и точка $\frac{\pi }{3}$ из I четверти. Точка $-\frac{\pi }{3}$ лежит в IV четверти, вне дуги.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $-\frac{3\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{5\pi }{2}<-2\pi$ и $\frac{\pi }{2}>-\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{11\pi }{3}<-2\pi$ и $\frac{\pi }{3}>-\frac{\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{7\pi }{3}<-2\pi$, а следующее значение $-\frac{\pi }{3}>-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{5\pi }{3}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{3}$; $-\frac{3\pi }{2}$; $-\frac{\pi }{2}$.