ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Запишем ОДЗ: под знаком логарифма должно стоять положительное число,

$$2\cos x>0\iff \cos x>0.$$

Запись ${\log }_2^2(2\cos x)$ означает квадрат логарифма: ${\left({\log }_2(2\cos x)\right)}^2$. Поэтому удобно сделать замену $t={\log }_2(2\cos x)$. Получаем квадратное уравнение

$$2t^2-9t+4=0.$$

Найдём дискриминант: $D=(-9{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=81-32=49=7^2$. Тогда

$$t=\frac{9\pm 7}{4},t_1=4,t_2=\frac{1}{2}.$$

Сделаем обратную замену. По определению логарифма ${\log }_{2}a=c$ означает $a=2^c$:

$$[\begin{array}{l}{\log }_2(2\cos x)=4,\\ {\log }_2(2\cos x)=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}2\cos x=2^4=16,\\ 2\cos x=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=8,\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Уравнение $\cos x=8$ решений не имеет, так как $-1⩽\cos x⩽1$.

Значение $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ положительно, поэтому условие ОДЗ $\cos x>0$ выполнено. Абсцисса $\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в I четверти (угол $\frac{\pi }{4}$) и в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$). Поэтому

$$x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-2\pi$ — правая точка, конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит I, II и III четверти.

На дугу попадает только точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти. Точка $-\frac{\pi }{4}$ лежит в IV четверти, вне дуги.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{15\pi }{4}<-2\pi$ и $\frac{\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{9\pi }{4}<-\frac{8\pi }{4}=-2\pi$, а следующее значение $-\frac{\pi }{4}>-\frac{2\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{7\pi }{4}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{4}$.