ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

В уравнении есть и синус, и косинус. Чтобы осталась одна функция, заменим ${\sin }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству: ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$.

$$2\cos x+1-{\cos }^{2}x=2{\cos }^{3}x.$$

Перенесём все слагаемые в правую часть и упорядочим по степеням $\cos x$:

$$2{\cos }^{3}x+{\cos }^{2}x-2\cos x-1=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Из первой пары вынесем ${\cos }^{2}x$, а из второй — $-1$:

$${\cos }^{2}x\left(2\cos x+1\right)-\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Теперь вынесем общий множитель $\left(2\cos x+1\right)$:

$$\left(2\cos x+1\right)\left({\cos }^{2}x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2},\\ {\cos }^{2}x=1.\end{array}$$

Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: во II четверти (угол $\frac{2\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\frac{2\pi }{3}$). Поэтому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Условие ${\cos }^{2}x=1$ означает $\cos x=1$ или $\cos x=-1$. Из первого $x=2\pi k$ — правая точка окружности, из второго $x=\pi +2\pi k$ — левая точка. Вместе эти точки повторяются через каждые $\pi$, поэтому обе серии объединяются в одну: $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит II, III и IV четверти.

На дугу попадают левая точка, правая точка (конец дуги), точка $\frac{2\pi }{3}$ из II четверти и точка $-\frac{2\pi }{3}$ из III четверти.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка и проверим соседние значения каждой серии.

Из серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{2\pi }{3}-4\pi =-\frac{10\pi }{3}$: действительно, $-\frac{21\pi }{6}<-\frac{20\pi }{6}$, а соседние значения $-\frac{16\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{4\pi }{3}>-2\pi$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ (левая точка) и $-2\pi$ (правая точка): соседние значения $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{8\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{14\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{2\pi }{3}>-2\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{10\pi }{3}$, $-3\pi$, $-\frac{8\pi }{3}$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{10\pi }{3}$; $-3\pi$; $-\frac{8\pi }{3}$; $-2\pi$.